====== Квадратичная форма ======
===== Определение =====
Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное коммутативное кольцо]], <latex> M </latex> --- [[:glossary:module#левый_модуль|(левый)]] <latex> R </latex>[[:glossary:module#левый_модуль|-модуль]].

__Определение 1.__ **Квадратичной формой**((quadratic form)) на <latex> R </latex>-модуле <latex> M </latex> называется отображение <latex>q\colon M\rightarrow R</latex>, обладающее следующими свойствами:
  - <latex>q(rm)=r^2q(m)</latex> для любых <latex>r\in R,m\in M</latex>;
  - отображение <latex>\varphi\colon M\times M\rightarrow R</latex>, определенное формулой <latex>\varphi(m_1,m_2)=q(m_1+m_2)-q(m_1)-q(m_2)</latex>, является [[:glossary:mapping:bilinear#билинейная_форма|билинейной формой]] на <latex> M </latex>.

Билинейная форма <latex>\varphi</latex> называется **билинейной формой, ассоциированной с квадратичной формой**((associated bilinear form)) <latex> q </latex>.

__Замечание 1.__ Билинейная форма <latex>\varphi</latex>, ассоциированная с некоторой квадратичной формой, всегда [[:glossary:mapping:bilinear#билинейная_форма|симметрична]].

Для каждой билинейной формы <latex> f </latex> на модуле <latex> M </latex> можно определить квадратичную форму <latex> q </latex> по правилу: <WRAP centeralign><latex>q(m)=f(m,m)</latex> для любого <latex>m\in M</latex>.</WRAP> Тогда ассоциированная с ней билинейная форма равна <latex>\varphi(m_1,m_2)=f(m_1,m_2)+f(m_2,m_1)</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|Квадратичная форма на векторном пространстве]]
  * [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space:real|Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/5048748/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Алгебра. Модули, кольца, формы», Наука, 1966.]]

{{tag>"линейная алгебра" "ассоциативное кольцо" "билинейная форма" "квадратичная форма"}}