====== Морфизм комплексов ======
<wrap hide></wrap>
===== Морфизм комплексов =====
Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]], <latex>C</latex> и <latex>C'</latex> --- [[:glossary:homology:complex|комплексы]] [[:glossary:module|модулей]]((левых, правых или бимодулей)) над кольцом <latex>R</latex>.

__Определение 1.__ **Морфизмом комплексов**((morphism of complexes)) <latex>f\colon C\rightarrow C'</latex> называется набор [[:glossary:morphism:module|гомоморфизмов ]]<latex>R</latex>[[:glossary:morphism:module|-модулей]] <latex>f_n\colon C_n\rightarrow C'_n</latex>, удовлетворяющих условию <latex>f_{n-1}\circ d_n=d'_n\circ f_n</latex> для всех <latex>n\in\mathbb{Z}</latex>, иначе говоря, делающих коммутативной диаграмму
<WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}\node{\ldots}\arrow{e,t}{d_{n+1}}\node{C_n}\arrow{e,t}{d_n}\arrow{s,l}{f_n}\node{C_{n-1}}\arrow{e,t}{d_{n-1}}\arrow{s,r}{f_{n-1}}\node{\ldots}\\\node{\ldots}\arrow{e,t}{d'_{n+1}}\node{C'_n}\arrow{e,t}{d'_n}\node{C'_{n-1}}\arrow{e,t}{d'_{n-1}}\node{\ldots}\end{diagram}</latex>.</WRAP>

__Предложение 1.__ Морфизм комплексов <latex>f\colon C\rightarrow C'</latex> индуцирует гомоморфизм [[:glossary:homology:complex#группа_гомологий|групп гомологий]] <latex>f_*\colon H(C)\rightarrow H(C')</latex>. Этот гомоморфизм классу <latex>\overline{c}\in Z_n/B_n=H_n(C)</latex> ставит в соответствие класс <latex>\overline{f_n(c)}\in H_n(C')</latex>.

__Определение 2.__ Морфизм комплексов называется **квазиизоморфизмом**((quasi-isomorphism)) (эквивалентностью, гомологизмом) если индуцированный гомоморфизм <latex>f_*</latex> является изоморфизмом.
===== Гомотопия =====
__Определение 3.__ Пусть <latex>f</latex> и <latex>g</latex> --- морфизмы из комплекса <latex>C</latex> в комплекс <latex>C'</latex>. Говорят, что морфизмы <latex>f</latex> и <latex>g</latex> **гомотопны**((homotopic)), если существует набор гомоморфизмов <latex>R</latex>-модулей <latex>h_n\colon C_n\rightarrow C'_{n+1}</latex>, <latex>n\in\mathbb{Z}</latex> таких, что <latex>d'_n\circ h_n+h_{n-1}\circ d_n=f_n-g_n</latex> для каждого <latex>n</latex>. При этом набор <latex>h=\{h_n\}</latex> называют **гомотопией**((homotopy)), связывающей <latex>g</latex> с <latex>f</latex>.

__Предложение 2.__ Гомотопия --- [[:glossary:relation:equivalence|отношение эквивалентности]] на множестве морфизмов из комплекса <latex>C</latex> в комплекс <latex>C'</latex>.

__Предложение 3.__ Если <latex>f,g\colon C\rightarrow C'</latex> гомотопны, то <latex>f_*=g_*</latex>.
===== Длинная точная гомологическая последовательность =====
Пусть <WRAP centeralign><latex>0\rightarrow C'\stackrel{\tau}{\rightarrow}C\stackrel{\lambda}{\rightarrow}C''\rightarrow 0 </latex></WRAP> --- короткая точная последовательность комплексов <latex>R</latex>-модулей, то есть такая, что для каждого <latex>n</latex> последовательность <WRAP centeralign><latex>0\rightarrow C'_n\stackrel{\tau_n}{\rightarrow}C_n\stackrel{\lambda_n}{\rightarrow}C''_n\rightarrow 0 </latex></WRAP> --- [[:glossary:module:left:sequence:exact|короткая точная последовательность]] <latex>R</latex>-модулей.

__Предложение 4.__ Последовательность <WRAP centeralign><latex>\ldots\rightarrow H_n(C')\stackrel{\tau_n}{\rightarrow}H_n(C)\stackrel{\lambda_n}{\rightarrow}H_n(C'')\stackrel{\partial_n}{\rightarrow} H_{n-1}(C')\rightarrow\ldots</latex>,</WRAP> называемая **длинной гомологической последовательностью**((long homology sequence)), точна. Отобржения <latex>\tau_n\colon H_n(C')\rightarrow H_n(C)</latex> и <latex>\lambda_n\colon H_n(C)\rightarrow H_n(C'')</latex> индуцированы отображениями <latex>\tau_n</latex> и <latex>\lambda_n</latex>, соответственно: <WRAP centeralign><latex>\tau_n(\overline{c'})=\overline{\tau_n(c')}</latex> для <latex>c'\in C'_{n}</latex> и <latex>\lambda_n(\overline{c})=\overline{\lambda_n(c)}</latex> для <latex>c\in C_n</latex>.</WRAP> Отображение <latex>\partial_n</latex> называется **связывающим гомоморфизмом**((boundary map)) и определяется следующим образом: пусть элемент <latex>c\in C_n</latex> таков, что <latex>\lambda_n(c)=c''</latex>, тогда для класса <latex>\overline{c''}\in H_n(C'')</latex>  <WRAP centeralign><latex>\partial_n(\overline{c''})=\overline{d_n(c)}</latex>.</WRAP>
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4047047/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Алгебра. Гомологическая алгебра», Наука, 1987.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"гомологическая алгебра" "группа гомологий" "комплекс" "связывающий гомоморфизм"}}