====== Гомологии Хохшильда ======
===== Комплекс Хохшильда =====
Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:algebra|ассоциативная алгебра с единицей]] над [[:glossary:ring#коммутативное_кольцо|коммутативным кольцом]] <latex>K</latex>, и <latex>M</latex> --- [[:glossary:module#бимодуль|бимодуль]] над <latex>A</latex>.

Заметим, что <latex>A</latex> --- это <latex>K</latex>-модуль, и, в частности, <latex>M</latex> также <latex>K</latex>-модуль.

__Определение 1.__ Определим **комплекс Хохшильда**((Hochschild complex)) как набор модулей <latex>C_n=M\otimes A^{\otimes n}</latex>((тензорное произведение над <latex>K</latex>;<latex>A^{\otimes n}=\underbrace{A\otimes_K\ldots\otimes_KA}_n</latex> --- <latex>n</latex>-кратное [[:glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_коммутативным_кольцом|тензорное произведение]])), <latex>n\in\mathbb{N}\cup \{0\}</latex>, и набор [[:glossary:morphism:module|гомоморфизмов]] <latex>d_n\colon C_n\rightarrow C_{n-1}</latex>, заданных формулой <WRAP centeralign><latex>d_n(m\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_n)=ma_1\otimes\ldots\otimes a_n+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^nm\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\ldots\otimes a_n+(-1)^na_nm\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_{n-1}</latex>.</WRAP>

__Предложение 1.__ Для определенных выше гомоморфизмов справедливо равенство <latex>d_{n-1}\circ d_n=0</latex>, то есть последовательность <WRAP centeralign><latex>\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}M\otimes A^{\otimes n}\stackrel{d_n}{\longrightarrow}M\otimes A^{\otimes (n-1)}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}M\otimes A\stackrel{d_1}{\longrightarrow}M</latex></WRAP> является [[:glossary:homology:complex|комплексом]].
===== Гомологии Хохшильда =====
__Определение 2.__ [[:glossary:homology|Гомологии комплекса]] Хохшильда <latex>A</latex>-бимодуля <latex>M</latex> называют **гомологиями Хохшильда**((Hochschild homology)) ассоциативной <latex>K</latex>-алгебры <latex>A</latex> с коэффициентами в <latex>M</latex> и обозначают <latex>H_*(A,M)</latex>.

__Пример 1.__ Нулевая группа гомологий <latex>H_0(A,M)=M/\{m\cdot a-a\cdot m|m\in M,a\in A\}</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:homology:complex:bar|Стандартный комплекс]]
===== Литература =====
  * Картан А., Эйленберг С. <<Гомологическая алгебра>>, Иностранная литература, 1960.

{{tag>"гомологическая алгебра" "гомологии алгебры" "гомологии хохшильда" "комплекс хохшильда"}}