====== Комплекс ======
<wrap hide></wrap>
===== Комплексы =====
Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]].

__Определение 1.__ **Комплекс**((complex)) <latex>C</latex> [[:glossary:module|модулей]]((левых, правых или бимодулей)) над кольцом <latex>R</latex> --- это последовательность модулей <latex>\{C_n,n\in\mathbb{Z}\}</latex> и их [[:glossary:morphism:module|гомоморфизмов]]
<WRAP centeralign><latex>\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}C_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}C_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}C_1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}C_0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}C_{-1}\stackrel{d_{-1}}{\longrightarrow}\ldots</latex>,</WRAP> удовлетворяющих условию <latex>d_{n-1}\circ d_n=0</latex> для всех <latex>n\in\mathbb{Z}</latex>. Гомоморфизм <latex>d_n</latex> называется **дифференциалом комплекса**((differential map)).

Рассматривают также комплексы с возрастающей нумерацией индексов, которые называют коцепными. Коцепной комплекс легко превратить в цепной, полагая <latex>C_n=C^{-n}</latex> и <latex>d_n=d^{-n+1}</latex>.

__Определение 1'.__ **(Коцепной) комплекс**((cochain complex)) <latex>C</latex> [[:glossary:module|модулей]]((левых, правых или бимодулей)) над кольцом <latex>R</latex> --- это последовательность модулей <latex>\{C_n,n\in\mathbb{Z}\}</latex> и их [[:glossary:morphism:module|гомоморфизмов]]
<WRAP centeralign><latex>\ldots\stackrel{d^{-1}}{\longrightarrow}C^0\stackrel{d^0}{\longrightarrow}C^1\stackrel{d^1}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d^{n-2}}{\longrightarrow}C^{n-1}\stackrel{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\stackrel{d^n}{\longrightarrow}C^{n+1}\stackrel{d^{n+1}}{\longrightarrow}\ldots</latex>,</WRAP> удовлетворяющих условию <latex>d_{n+1}\circ d_n=0</latex> для всех <latex>n\in\mathbb{Z}</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>M</latex> --- произвольный <latex>R</latex>-модуль. Положим <latex>C_n=0</latex> для всех целых <latex>n\neq0</latex> и <latex>C_0=M</latex>. Пусть <latex>d_n=0</latex> --- нулевой гомоморфизм: <WRAP centeralign><latex>\ldots\rightarrow0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\ldots</latex>.</WRAP> Очевидно, что <latex>C</latex> --- комплекс.

__Определение 2.__ Комплекс <latex>C</latex> называется **неотрицательным**, если <latex>C_{-n}=0</latex> для всех <latex>n>0</latex>.

__Определение 3.__ Комплекс называется **свободным**, если [[:glossary:module:free|свободен]] каждый из модулей <latex>C_n</latex>. Аналогичным образом определяются понятия «**проективный комплекс**» --- <latex>C_n</latex> [[:glossary:module:projective:left|проективен]], «**инъективный комплекс**» --- <latex>C_n</latex> [[:glossary:module:injective:left|инъективен]], «**плоский комплекс**» --- <latex>C_n</latex> [[:glossary:module:left:flat|плоский]].
===== Подкомплексы и факторкомплексы =====
__Определение 4.__ **Подкомплексом**((subcomplex)) комплекса <latex>C=\{C_n,d_n\}</latex> называется набор <latex>R</latex>-[[:glossary:module|подмодулей]] <latex>E_n\subseteq C_n</latex>, удовлетворяющих условию <latex>d_n(E_n)\subseteq E_{n+1}</latex>, вместе с гомоморфизмами-ограничениями <latex>d_{n|E_n}</latex>.

__Определение 5.__ Пусть <latex>E</latex> --- подкомплекс комплекса <latex>C</latex>. **Факторкомплексом**((factor complex)) <latex>R</latex>-модулей называется комплекс <latex>C/E=\{C_n/E_n,d_n\}</latex>, где <latex>d_n\colon C_n/E_n\rightarrow C_{n-1}/E_{n-1}\colon \overline{c}\mapsto \overline{d_n(c)}</latex> --- дифференциал, индуцированный отображением <latex>d_n\colon C_n\rightarrow C_{n-1}</latex>.
===== Операции над комплексами =====
==== Сдвиг комплекса ====
Пусть <latex>C</latex> --- комплекс левых <latex>R</latex>-модулей.

__Определение 6.__ <latex>p</latex>-м **сдвигом комплекса ** <latex>C</latex> называется комплекс <latex>C[p]</latex>, для которого <latex>C[p]_n=C_{p+n}</latex> и <latex>d[p]_n=(-1)^pd_{n+p}</latex>.
==== Тензорное произведение комплексов ====
Пусть <latex>C</latex> --- комплекс правых <latex>R</latex>-модулей, <latex>C'</latex> --- комплекс левых <latex>R</latex>-модулей.

__Определение 7.__ **Тензорным произведением**((tensor product)) неотрицательных комплексов <latex>C</latex> и <latex>C'</latex> называется комплекс <latex>\mathbb{Z}</latex>-модулей <latex>C\otimes_RC'</latex>, в котором <WRAP centeralign><latex>(C\otimes_RC')_n=\underset{p+q=n}{\oplus}C_p\otimes_RC'_q</latex></WRAP> и <latex>d_n</latex> из <latex>(C\otimes_RC')_n</latex> в <latex>(C\otimes_RC')_{n-1}</latex> определено формулой <WRAP centeralign><latex>d_n(x\otimes y)=d_px\otimes y+ (-1)^px\otimes d_qy</latex>, для любых <latex>x \in C_p</latex>, <latex>y\in C'_q,\ p+q=n</latex>.</WRAP>
===== См. также =====
  * [[:glossary:homology|Гомологии комплекса]]
  * [[:glossary:homology:complex:hochschield|Гомологии Хохшильда]]
  * [[:glossary:homology:complex:morphism|Морфизм комплексов]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4047047/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Алгебра. Гомологическая алгебра», Наука, 1987.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"гомологическая алгебра" "инъективный комплекс" "комплекс" "плоский комплекс" "подкомплекс" "проективный комплекс" "свободный комплекс" "сдвиг комплекса" "тензорное произведение комплексов" "факторкомплекс"}}