====== Система Титса ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Двойной смежный класс =====
__Определение 1.__ Пусть <latex>G</latex> --- [[:glossary:group|группа]], <latex>B</latex> --- ее [[::glossary:group|подгруппа]]. Тогда [[glossary:group:product:direct|прямое произведение групп]] <latex>B\times B</latex> действует на <latex>G</latex> по правилу <latex>(b_1,b_2)\cdot g=b_1gb_2^{-1}</latex>, где <latex>b_1,b_2\in B</latex> и <latex>g\in G</latex>. Множество <latex>BgB=\{b_1gb_2\vert b_1,b_2\in B\}</latex> называется **двойным смежным классом**((double coset)) <latex>G</latex> по <latex>B</latex>.

Множества <latex>BgB</latex> образуют  [[:glossary:relation:equivalence#разбиение_множества|разбиение]] группы <latex>G</latex>. Соответствующее [[:glossary:relation:equivalence|фактормножество]] обозначается символом <latex>B\backslash G/B</latex>.
===== Определение системы Титса =====
__Определение 2.__ Пусть <latex>G</latex> --- группа, <latex>B</latex> и <latex>N</latex> --- ее подгруппы и <latex>S</latex> --- подмножество в <latex>N/(B\cap N)</latex>. **Системой Титса**((Tits system)) называется четверка <latex>(G,B,N,S)</latex>, удовлетворяющая следующим аксиомам:
  - множество <latex>B\cup N</latex> порождает <latex>G</latex> и <latex>B\cap N</latex> является [[:glossary:group#подгруппа|нормальной подгруппой]] группы <latex>N</latex>;
  - множество <latex>S</latex> порождает группу <latex>W=N/(B\cap N)</latex> и состоит из элементов порядка 2;
  - <latex>sBw\subset BwB\cup BswB</latex> для <latex>s\in S</latex> и <latex>w\in W</latex>;
  - <latex>sBs\not\subset B</latex> для любого <latex>s\in S</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>F</latex> --- [[:glossary:field|поле]]. Рассмотрим [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] <latex>F^n</latex> со стандартным [[:glossary:space:linear:basis|базисом]] <latex>\{e_i\}</latex>. Пусть группа <latex>G</latex> равна <latex>\textrm{GL}_n(F)</latex>, <latex>B</latex> --- подгруппа в <latex>G</latex>, состоящая из матриц с нулями ниже главной диагонали, <latex>N</latex> --- подгруппа в <latex>G</latex>, состоящая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке ровно один элемент отличен от нуля. Группа <latex>W=N/(B\cap N)</latex> отождествляется с [[:glossary:group:symmetric#симметрическая_группа|симметрической группой]] <latex>S_n</latex>. Обозначим через <latex>s_j</latex> элемент из <latex>W</latex>, соответствующий [[:glossary:group:permutation#транспозиции_и_циклы|транспозиции]] <latex>(j\ j+1)</latex>. Пусть <latex>S=\{s_j\}</latex>. Тогда четверка <latex>(G,B,N,S)</latex> будет системой Титса.
===== Разложение на двойные классы =====
__Теорема 1.__ Имеет место равенство <latex>G=BWB</latex>. Соответствие <latex>w\mapsto BwB</latex> является [[:glossary:mapping#виды_отображений|биективным отображением]] <latex>W</latex> на множество <latex>B\backslash G/B</latex> двойных смежных классов <latex>G</latex> по <latex>B</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4327116/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней», Мир, 1972.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "группа" "двойной смежный класс" "система титса"}}