====== Группа подстановок ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Симметрическая группа =====
__Предложение 1.__ Множество всех [[:glossary:group:permutation|подстановок порядка]] <latex>n</latex> с операцией умножения подстановок образуют [[:glossary:group|группу]] <latex>S_n</latex>. [[:glossary:element:groupoid:identity|Единичным элементом]] группы является подстановка <latex>e=\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n\\ 1 & 2 & \ldots & n\end{pmatrix}</latex>, [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратной]] подстановкой для <latex>\pi=\begin{pmatrix}i_1 & i_2 & \ldots & i_n\\ j_1 & j_2 & \ldots & j_n\end{pmatrix}</latex> является <latex>\pi^{-1}=\begin{pmatrix}j_1 & j_2 & \ldots & j_n\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n\end{pmatrix}</latex>. [[:glossary:group:factor#индекс_подгруппы|Порядок]] этой группы равен <latex>n!</latex>.

Заметим, что при <latex>n>2</latex> группа <latex>S_n</latex> не [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативна]].

__Пример 1.__ Группа <latex>S_3</latex> состоит из шести элементов: <latex>e=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}</latex>, <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}</latex>, <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}</latex>, <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}</latex>, <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}</latex>, <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</latex>. Эта группа не коммутативна: произведение <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}</latex> равно <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}</latex>, что отлично от <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</latex>.

__Определение 1.__ Группа <latex>S_n</latex> называется **симметрической группой**((symmetric group)) порядка <latex>n</latex>.

__Теорема 1.(**Теорема Кэли**)__ Любая конечная [[glossary:group|группа]] порядка <latex>n</latex> [[:glossary:morphism:group|изоморфна]] некоторой [[glossary:group#подгруппа|подгруппе]] симметрической группы <latex>S_n</latex>.

===== Знакопеременная группа =====
__Предложение 2.__ Множество всех [[:glossary:group:permutation#четность_подстановки|четных]] подстановок образуют подгруппу <latex>A_n</latex> группы <latex>S_n</latex>. Порядок группы <latex>A_n</latex> равен <latex>\frac{1}{2}n!</latex>.

__Определение 2.__ Группа <latex>A_n</latex> всех четных подстановок называется **знакопеременной группой**((alternating group)) порядка <latex>n</latex>.

__Пример 2.__ Подгруппа <latex>A_3</latex> симметрической группы <latex>S_3</latex> состоит из трех подстановок <latex>e=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}</latex>, <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}</latex>, <latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/17563348/?partner=lds1938|Курош А.Г. «Курс высшей алгебры», Лань, 2008.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "группа" "декремент" "знак подстановки" "знакопеременная группа" "перестановка" "подстановка" "симметрическая группа" "теорема кэли" "четность подстановки"}}