====== Прямое произведение групп ======
проверено
===== Внутреннее прямое произведение =====
Пусть G --- [[:glossary:group|группа]].
__Определение 1.__ Говорят, что G разлагается во **(внутреннее) прямое произведение**((inner direct product)) [[:glossary:group|подгрупп]] G_1,\dots,G_n, если
- каждый элемент g\in G единственным образом представляется в виде произведения элементов из G_i: g=g_1\dots g_n, где g_i\in G_i;
- элементы из разных подгрупп перестановочны: g_ig_j=g_jg_i для любых g_i\in G_i и g_j\in G_j, если i\neq j.
При этом пишут G=G_1\times\dots\times G_n.
===== Внешнее прямое произведение =====
Пусть заданы группы G_1,\dots,G_n.
__Определение 2.__ Совокупность последовательностей (g_1,\dots,g_n), где g_i\in G_i, с покомпонентной операцией умножения (g_1,\dots,g_n)(g_1',\dots,g_n')=(g_1g_1',\dots,g_ng_n'), называется **(внешним) прямым произведением**((outer direct product)) и обозначается G_1\times\dots\times G_n.
__Предложение 1.__ Множество G_1\times\dots\times G_n с определенной выше операцией умножения является группой.
Отождествляя каждый элемент g\in G_i с последовательностью (e,\dots,g,\dots,e), где g стоит на i-м месте, мы получаем вложение G_i в G_1\times\dots\times G_n. Образ группы G_i при этом вложении обозначим также через G_i, тогда группа G_1\times\dots\times G_n есть (внутреннее) прямое произведение подгрупп G_i. Обратно, если некоторая группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп G_1,\dots,G_n, то отображение G_1\times\dots\times G_n\rightarrow G\colon(g_1,\dots,g_n)\mapsto g_1\dots g_n, является [[:glossary:morphism:group|изоморфизмом групп]].
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1255737/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "группа" "прямое произведение"}}