====== Диэдральная группа ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====
__Определение 1.__ **Диэдральной группой**((dihedral group)) называется всякая [[:glossary:group|группа]] с двумя различными [[:glossary:group:generator:relator|образующими]] [[:glossary:group:element:order|порядка]] два.

__Пример 1.__ Пусть <latex>\mathbb{Z}_2=\{-1,1\}</latex> --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|мультипликативная]] [[:glossary:group:factor#определение_факторгруппы|группа классов вычетов по модулю 2]] и <latex>m\in\mathbb{Z},m\geqslant 2</latex>. Пусть <latex>\mathbb{Z}_2</latex> [[:glossary:group:action|действует]] на группу классов вычетов <latex>\mathbb{Z}_m</latex>, полагая <latex>(-1)\cdot x=-x</latex>. Тогда определено [[:glossary:group:product:semidirect|(внешнее) полупрямое произведение]] групп <latex>\mathbb{Z}_2</latex> и <latex>\mathbb{Z}_m</latex>, которое мы обозначим через <latex>D_m</latex>, то есть <latex>D_m=\mathbb{Z}_m\rtimes\mathbb{Z}_2</latex>. Это означает, что элементами <latex>D_m</latex> будут пары <latex>(x,\varepsilon)</latex>, где <latex>\varepsilon=\pm 1,x\in\mathbb{Z}_m</latex>, а групповой закон в <latex>D_m</latex> задается формулой <latex>(x,\varepsilon)\cdot(x',\varepsilon')=(\varepsilon'x+x',\varepsilon\varepsilon')</latex>. Элементы <latex>\rho=(\overline{0},-1)</latex> и <latex>\rho'=(\overline{1},-1)</latex> являются образующими порядка 2 группы <latex>D_m</latex>, так как <WRAP centeralign><latex>(\overline{0},-1)(\overline{0},-1)=((-1)\cdot\overline{0}+\overline{0},(-1)^2)=(\overline{0},1)</latex> и <latex>(\overline{1},-1)(\overline{1},-1)=((-1)\cdot\overline{1}+\overline{1},(-1)^2)=(\overline{0},1)</latex>.</WRAP> Поскольку <latex>(n\overline{1},1)=(\rho\rho')^n</latex> и <latex>(n\overline{1},-1)=\rho(\rho\rho')^n</latex>, то элементы <latex>\rho</latex> и <latex>\rho'</latex> порождают <latex>D_m</latex>. Таким образом, <latex>D_m</latex> --- диэдральная группа.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4327116/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней», Мир, 1972.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "группа" "диэдральная группа" "порядок элемента"}}