====== Циклическая группа ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Оределение =====
__Определение 1.__ Группа <latex>(G,\cdot)</latex> называется **циклической**((cyclic group)), если существует такой элемент <latex>a\in G</latex>, что любой элемент <latex>g\in G</latex> записывается в виде <latex>g=a^n</latex> для некоторого <latex>n\in\mathbb{Z}</latex>. При этом элемент <latex> a </latex> называется **образующей**((generator)) циклической группы.

__Замечание 1.__ В случае, если циклическая группа записана аддитивно, то каждый ее элемент представляется в виде <latex>na</latex> для некоторого <latex>n\in\mathbb{Z}</latex>.

__Пример 1.__ [[:glossary:set:integer|Множество целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> является циклической группой бесконечного [[:glossary:group:factor|порядка]] с образующим, равным 1.

__Предложение 1.__ Любая циклическая группа [[:glossary:group#абелева_группа|абелева]].

__Предложение 2.__ Любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

__Пример 2.__ [[:glossary:group:factor|Группа классов вычетов]] по модулю <latex> n </latex> является циклической группой порядка <latex> n </latex> с образующим <latex>\overline{1}</latex>.

__Предложение 2.__ Все циклические группы исчерпываются двумя предыдущими примерами с точностью до [[:glossary:morphism:group|изоморфизма]].
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "множество целых чисел" "образующий элемент" "циклическая группа"}}