====== Точная последовательность абелевых групп ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Последовательность [[:glossary:group|абелевых групп]] и [[:glossary:morphism:group|их гомоморфизмов]] <latex>G_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}G_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{i-1}}{\rightarrow}G_{i}\stackrel{\varphi_{i}}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\rightarrow}G_n</latex> называется **точной в члене**((exact for)) <latex> i </latex>, если <latex>\textrm{ker}~\varphi_i=\textrm{im}~\varphi_{i-1}</latex>. Последовательность называется **точной**((exact sequence)), если она точна в каждом члене.

__Замечание 1.__ В действительности абелева группа является [[:glossary:module#левый_модуль|(левым) модулем]] над [[:glossary:set:integer|кольцом целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex>, поэтому вышеприведенное определение полностью повторяет определение для [[:glossary:module:left:sequence:exact|точных последовательностей левых модулей]]. Таким образом, для абелевых групп имеют место другие определения и предложения из статьи [[:glossary:module:left:sequence:exact|Точная последовательность модулей]].
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3249529/?partner=lds1938|Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4047047/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Гомологическая алгебра», Наука, 1987.]]
  * Картан А., Эйленберг С. <<Гомологическая алгебра>>, Иностранная литература, 1960.

{{tag>"абстрактная алгебра" "абелева группа" "ассоциативное кольцо с единицей" "короткая точная последовательность" "расщепляемая последовательность" "точная последовательность"}}