====== Векторы в пространстве ======
<WRAP center round important 60%>
Данная статья использует интуитивные понятия точки, прямой, плоскости, направления, и т.д., введенные в школьном курсе элементарной геометрии.
</WRAP>
===== Свободный вектор =====
__Определение 1.__ **Геометрическим вектором**((geometric vector)), или просто **вектором**((vector)), называется направленный отрезок.
Направление вектора отмечается стрелкой. Обозначаются геометрические векторы либо одной буквой латинского алфавита, например, вектор <latex>\mathbf{a}</latex>:
{{ :glossary:geometry:elementary:vector.jpg?150 | Вектор a }}
либо двумя буквами, соответствующими начальной и конечной точкам вектора, например, вектор <latex>\overline{AB}</latex>:
{{ :glossary:geometry:elementary:vector2.jpg?150 | Вектор AB }}
Геометрический вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называется **нулевым**.

__Определение 2.__ **Длиной**((length)) геометрического вектора называется расстояние между его началом и концом. Длина вектора <latex>\mathbf{a}</latex> обозначается через <latex>|\mathbf{a}|</latex>.

__Определение 3.__ Геометрические векторы называются **коллинеарными**((collinear vectors)), если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

__Определение 4.__ Геометрические векторы называются **компланарными**((coplanar vectors)), если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

__Определение 5.__ Два геометрических вектора называются **равными**((are equal)), если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и направления. Все нулевые векторы считаются равными.

__Пример 1.__ Векторы <latex>\overline{AB}</latex> и <latex>\overline{A'B'}</latex> на рисунке равны:
{{ :glossary:geometry:elementary:vector_equal.jpg?150 | Векторы AB и A'B' равны. }}
Говорят, что вектор <latex>\overline{A'B'}</latex> получен переносом вектора <latex>\overline{AB}</latex> в точку <latex>A'</latex>.

__Предложение 1.__ Равенство геометрических векторов является [[:glossary:relation:equivalence|отношением эквивалентности]] на множестве всех геометрических векторов. 

__Определение 6.__ **Свободным вектором**((free vector)), или также просто **вектором** называется [[:glossary:relation:equivalence|класс]] равных геометрических векторов.

__Замечание 1.__ Если нет необходимости различать два //равных//, но //не совпадающих// в пространстве вектора, то подразумевают, что речь идет о свободном векторе.
===== Линейные операции над векторами =====
==== Сложение векторов ====
__Определение 7.__ **Суммой**((sum)) <latex>\mathbf{a}+\mathbf{b}</latex> двух векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex> называется вектор, начинающийся в начале вектора <latex>\mathbf{a}</latex> и оканчивающийся в конце вектора <latex>\mathbf{b}</latex>, при условии, что вектор <latex>\mathbf{b}</latex> отложен от конца вектора <latex>\mathbf{a}</latex>:
{{ :glossary:geometry:elementary:vector_sum_1.jpg?150 | Сумма векторов }}
Это правило сложения векторов называют **правилом треугольника**((triangle rule of addition)).

__Предложение 2.__ Сложение векторов обладает следующими свойствами:
  - <latex>\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}</latex> для любых двух векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex>;
  - <latex>(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})</latex> для любых трех векторов <latex>\mathbf{a}</latex>, <latex>\mathbf{b}</latex>, <latex>\mathbf{c}</latex>;
  - нулевой вектор <latex>\mathbf{0}</latex>((Вектор, у которого начало совпадает с концом.)) обладает свойством <latex>\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}</latex>;
  - для каждого вектора <latex>\mathbf{a}</latex> существует противоположный вектор <latex>(-\mathbf{a})</latex>, удовлетворяющий свойству <latex>\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}</latex>.

__Определение 8.__ Разностью <latex>\mathbf{a}-\mathbf{b}</latex> векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex> называется такой вектор <latex>\mathbf{c}</latex>, что <latex>\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{a}</latex>.
{{ :glossary:geometry:elementary:vector_sum_2.jpg?150 | Разность векторов }}
==== Умножение вектора на число ====
__Определение 9.__ **Произведением** <latex>\alpha\mathbf{a}</latex> **вектора** <latex>\mathbf{a}</latex> **на [[:glossary:set:real|вещественное число]]** <latex>\alpha</latex> называется вектор <latex>\mathbf{b}</latex>, удовлетворяющий следующим условиям:
  - Длина вектора <latex>\mathbf{b}</latex> равна <latex>|\alpha|\cdot|\mathbf{a}|</latex>;
  - Вектор <latex>\mathbf{b}</latex> коллинеарен вектору <latex>\mathbf{a}</latex>;
  - Векторы <latex>\mathbf{b}</latex> и <latex>\mathbf{a}</latex> направлены одинаково, если <latex>\alpha>0</latex> и противоположно, если <latex>\alpha<0</latex>.
**Умножение вектора на число** --- это операция, сопоставляющая вектору <latex>\mathbf{a}</latex> и числу <latex>\alpha</latex> вектор <latex>\alpha\mathbf{a}</latex>. Геометрический смысл умножения вектора на число: при умножении вектора <latex>\mathbf{a}</latex> на число <latex>\alpha</latex> вектор растягивается((если <latex>\alpha>1</latex> или сжимается, если <latex>0<\alpha<1</latex>)) в <latex>\alpha</latex> раз.
{{ :glossary:geometry:elementary:vector_scale.jpg?150 | Умножение вектора на число }}

__Предложение 3.__ Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:
  - <latex>\alpha(\beta\mathbf{a})=(\alpha\beta)\mathbf{a}</latex> для любых чисел <latex>\alpha</latex> и <latex>\beta</latex> и любого вектора <latex>\mathbf{a}</latex>;
  - <latex>\alpha(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\alpha\mathbf{a}+\alpha\mathbf{b}</latex> для любого числа <latex>\alpha</latex> и векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex>;
  - <latex>(\alpha+\beta)\mathbf{a}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{a}</latex> для любых чисел <latex>\alpha</latex> и <latex>\beta</latex> и любого вектора <latex>\mathbf{a}</latex>.
  - Умножение любого вектора на <latex>1</latex> не меняет этого вектора: <latex>1\mathbf{a}=\mathbf{a}</latex>.
==== Угол между векторами ====
Угол между векторами будем определять, отложив эти векторы от одной точки.

__Определение 10.__ Два вектора называются **ортогональными**((orthogonal)), если угол между ними прямой.
===== См. также =====
  * [[:glossary:space:linear|Векторное пространство]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/107682/?partner=lds1938|Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Физматлит, 2008.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.]]

{{tag>"аналитическая геометрия" "вектор" "коллинеарные векторы" "компланарные векторы" "нулевой вектор" "ортогональные векторы" "свободный вектор" "сложение векторов" "умножение вектора на число"}}