====== Скалярное произведение векторов в пространстве ======
===== Определение скалярного произведения =====
__Определение 2.__ **Скалярным произведением**((scalar product)) двух [[:glossary:geometry:elementary:vector|векторов]] называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex> обозначается <latex>(\mathbf{a},\mathbf{b})</latex>. Таким образом,
<WRAP centeralign><latex>(\mathbf{a},\mathbf{b})=|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cos~\varphi</latex>,</WRAP>
где <latex>\varphi</latex> --- угол между векторами <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex>.
===== Свойства скалярного произведения =====
__Предложение 1.__ Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
  - Коммутативность: <latex>(\mathbf{a},\mathbf{b})=(\mathbf{b},\mathbf{a})</latex> для любых векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex>.
  - Ассоциативность: <latex>(\alpha\mathbf{a},\mathbf{b})=</latex><latex>\alpha(\mathbf{a},\mathbf{b})</latex> для любого действительного чиспа <latex>\alpha</latex> и любых векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex>.
  - Дистрибутивность: <latex>(\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c})=</latex><latex>(\mathbf{a},\mathbf{c})+</latex><latex>(\mathbf{b},\mathbf{c})</latex> для любых векторов <latex>\mathbf{a}</latex>, <latex>\mathbf{b}</latex> и <latex>\mathbf{c}</latex>.
  - Положительная определенность: <latex>(\mathbf{a},\mathbf{a})\geqslant 0</latex> для любого вектора <latex>\mathbf{a}</latex>, причем <latex>(\mathbf{a},\mathbf{a})=0</latex> в том и только том случае, когда <latex>\mathbf{a}=\mathbf{0}</latex>.

__Замечание 1.__ Выполнение условий предложения 1 означает, что операция <latex>(\mathbf{a},\mathbf{b})</latex> является [[:glossary:product:scalar|скалярным произведением в более общем смысле]].

__Предложение 2.__ Два ненулевых вектора [[:glossary:geometry:elementary:vector#угол_между_векторами|ортогональны]] тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

__Предложение 3.__ Для любых ненулевых векторов <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex>
  - угол между <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex> острый тогда и только тогда, когда <latex>(\mathbf{a},\mathbf{b})>0</latex>;
  - угол между <latex>\mathbf{a}</latex> и <latex>\mathbf{b}</latex> тупой тогда и только тогда, когда <latex>(\mathbf{a},\mathbf{b})<0</latex>

__Предложение 4.__ Для любого вектора <latex>\mathbf{a}</latex> имеет место равенство <latex>(\mathbf{a},\mathbf{a})=|\mathbf{a}|^2</latex>.
===== Скалярное произведение в декартовых координатах =====
__Предложение 5.__ Пусть [[:glossary:geometry:elementary:linear-combinations#базис_в_пространстве_на_плоскости_и_на_прямой|базисные векторы]] <latex>\mathbf{e}_1</latex>, <latex>\mathbf{e}_2</latex>, <latex>\mathbf{e}_3</latex> ортогональны, тогда [[:glossary:geometry:elementary:descartes_system|координаты]] вектора <latex>\mathbf{a}=\alpha_1\mathbf{e}_1+\alpha_2\mathbf{e}_2+\alpha_3\mathbf{e}_3</latex> в этом базисе находятся по формулам:
<WRAP centeralign><latex>\alpha_1 = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e}_1)}{|\mathbf{e}_1|^2}</latex>, <latex>\alpha_2 = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e}_2)}{|\mathbf{e}_2|^2}</latex>, <latex>\alpha_3 = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e}_3)}{|\mathbf{e}_3|^2}</latex>.</WRAP>
В частности, в [[:glossary:geometry:elementary:descartes_system&#декартова_система_координат|ортонормированном базисе]]
<WRAP centeralign><latex>\alpha_1 = (\mathbf{a},\mathbf{e}_1)</latex>, <latex>\alpha_2 = (\mathbf{a},\mathbf{e}_2)</latex>, <latex>\alpha_3 = (\mathbf{a},\mathbf{e}_3)</latex>.</WRAP>

__Предложение 6.__ Векторы <latex>\mathbf{i}</latex>, <latex>\mathbf{j}</latex>, <latex>\mathbf{k}</latex>, составляющие ортонормированный базис в [[:glossary:geometry:elementary:descartes_system&#декартова_система_координат|декартовой системе координат]], удовлетворяют следующим условиям:
  - <latex>(\mathbf{i},\mathbf{i})=1</latex>, <latex>(\mathbf{j},\mathbf{j})=1</latex>, <latex>(\mathbf{k},\mathbf{k})=1</latex>
  - <latex>(\mathbf{i},\mathbf{j})=0</latex>, <latex>(\mathbf{i},\mathbf{k})=0</latex>, <latex>(\mathbf{j},\mathbf{k})=0</latex>

__Предложение 7.__ Пусть в декартовой системе координат <latex>\mathbf{a}=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}</latex> и <latex>\mathbf{b}=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}</latex>, тогда их скалярное произведение находится по формуле:
<WRAP centeralign><latex>(\mathbf{a},\mathbf{b})=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</latex>.</WRAP>

__Предложение 8.__ В декартовой системе координат длина вектора <latex>\mathbf{a}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}</latex> равна
<WRAP centeralign><latex>|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</latex>.</WRAP>

__Предложение 9.__ В декартовой системе координат угол <latex>\varphi</latex> между векторами <latex>\mathbf{a}=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}</latex> и <latex>\mathbf{b}=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}</latex> определяется формулой:
<WRAP centeralign><latex>\cos~\varphi=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}</latex>.</WRAP>
===== См. также =====
  * [[:glossary:product:scalar|Скалярное произведение]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/107682/?partner=lds1938|Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Физматлит, 2008.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.]]

{{tag>"аналитическая геометрия" "скалярное произведение"}}