====== Аксиомы элементарной геометрии ====== ===== Аксиоматика Гильберта ===== Существует три различных множества объектов; объекты первого множества называются **точками**, объекты второго --- **прямыми**, объекты третьего --- **плоскостями**. Множество всех точек, прямых и плоскостей называется **пространством**. Причем - между этими объектами, а также их группами могут существовать известные соотношения, которые обозначаются словами //принадлежит//, //лежит между//, //конгруэнтен//; - указанные соотношения должны удовлетворять двадцати аксиомам, перечисленным ниже; - в остальном природа объектов и соотношений между ними может быть произвольной. Аксиомы делятся на пять групп: - аксиомы принадлежности((аксиомы связи)), - аксиомы порядка, - аксиомы конгруэнтности, - аксиомы непрерывности, - аксиома параллельности. ==== Аксиомы принадлежности ==== Соотношение //принадлежит// определено только между точками и прямыми, либо между точками и плоскостями, либо между прямыми и плоскостями. Условимся, что соотношение //принадлежит// будет выражаться одним из следующих способов: точка A принадлежит прямой a, точка A лежит на прямой a, точка A является точкой прямой a, прямая a проходит через точку A. Или: точка A принадлежит плоскости \alpha, точка A лежит на плоскости \alpha, точка A является точкой плоскости \alpha, плоскость \alpha проходит через точку A и т.д. - Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат обе эти точки. - Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки. - Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой. - Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость \alpha, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка. - Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки. - Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости \alpha, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.((В этом случае говорят, что прямая a принадлежит плоскости \alpha, или прямая a лежит на плоскости \alpha, или плоскость \alpha проходит через прямую a.)) - Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям \alpha и \beta, то существует по крайней мере еще одна точка B, принадлежащая этим плоскостям. - Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. __Замечание 1.__ Аксиомы 1--3 исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. __Теорема 1.__ Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки. __Теорема 2.__ Две различные плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки. __Теорема 3.__ Плоскость и не принадлежащая ей прямая не могут иметь более одной общей точки. __Теорема 4.__ Через прямую и не лежащую на ней точку или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость. __Теорема 5.__ Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки. ==== Аксиомы порядка ==== Соотношение //лежит между// определено только для трех точек, принадлежащих прямой. __Определение 1.__ Пару точек A и B назовем **отрезком** и будем обозначать AB или BA. Точки, лежащие между A и B, назовем **внутренними точками** или просто точками отрезка AB, точки A и B --- концами отрезка. Все остальные точки прямой AB((т.е. прямой, которой принадлежат точки A и B --- см. аксиому принадлежности №1)) будем называть **внешними** по отношению к отрезку AB. - Если точка B лежит между точками A и C, то A, B и C --- различные точки одной прямой, причем B лежит также и между C и A. - Каковы бы ни были две различные точки A и C, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка B такая, что C лежит между A и B. - Среди любых трех различных точек одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. - ( **Аксиома Паша** ) Если A, B и C --- три точки, не лежащие на одной прямой, и a --- некоторая прямая, принадлежащая плоскости, определяемой этими тремя точками, не содержащая ни одной из этих точек и проходящая через некоторую точку отрезка AB, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка AC, либо через некоторую точку отрезка BC. __Замечание 2.__ Аксиомы 1--3 называются **линейными аксиомами порядка**. __Определение 2.__ Будем говорить, что две различные точки A и B прямой a **лежат по разные стороны** ( **лежат по одну сторону**) от точки O той же прямой, если точка O (не) лежит между A и B. __Теорема 6.__ Произвольная точка O некоторой прямой a [[:glossary:relation:equivalence#разбиение_множества|разбивает]] все остальные точки этой прямой на два непустых [[:glossary:relation:equivalence|класса]] так, что любые две точки, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от O, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от O.((Иначе говоря, соотношение //лежать по одну сторону// является [[:glossary:relation:equivalence|отношением эквивалентности]] на множестве всех точек прямой a, исключая точку O.)) __Определение 3.__ Для заданных точек O и A прямой a **полупрямой** или **лучом** OA будем называть класс всех точек, содержащих точку A и лежащих по одну сторону от точки O. Все точки этого класса называются **точками полупрямой** OA. Точка O при этом называется **началом** полупрямой OA. __Теорема 7.__ Каждая прямая a, расположенная в плоскости \alpha, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два не пустых класса так, что любые две точки A и B из разных классов определяют отрезок AB, содержащий точку прямой a, а любые две точки A и A' из одного класса определяют отрезок AA', внутри которого не лежит ни одна точка прямой a. __Определение 4.__ Используя обозначения формулировки теоремы 7, будем говорить, что точки A и A' **лежат по одну сторону** прямой a, а точки A и B **лежат по разные стороны** прямой a. ==== Аксиомы конгруэнтности ==== __Определение 5.__ Пара полупрямых h и k с началом в общей точке O называется **углом**, если не все точки этих полупрямых лежат на одной прямой. Для обозначения угла используются знаки \angle(h,k) или \angle(k,h). Если полупрямые задаются указанием точек: OA и OB, то угол обозначается символом \angle~AOB. __Определение 6.__ **Внутренними точками** \angle(h,k) будем называть те точки плоскости \alpha, которые одновременно * лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч h, что и любая точка луча k, * лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч k, что и любая точка луча h. Термин //конгруэнтен//, или равен, используется для задания соотношений между отрезками или между углами. - Если A и B --- две точки на прямой a, A' --- точка на той же прямой или на другой прямой a', то по данную от точки A' сторону прямой a'(( то есть на заранее определенном луче )) найдется, и притом только одна, точка B' такая, что отрезок A'B' конгруэнтен отрезку AB. Каждый отрезок AB конгруэнтен отрезку BA. - Если отрезки A'B' и A''B'' конгруэнтны одному и тому же отрезку AB, то они конгруэнтны между собой. - Пусть AB и BC --- два отрезка прямой a, не имеющие общих внутренних точек, A'B' и B'C' --- два отрезка той же прямой или другой прямой a', также не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если отрезок AB конгруэнтен отрезку A'B', а отрезок BC конгруэнтен отрезку B'C', то отрезок AC конгруэнтен отрезку A'C'. - Пусть даны \angle(h,k) на плоскости \alpha, прямая a' на этой же или на какой-либо другой плоскости \alpha' и задана определенная сторона плоскости \alpha' относительно прямой a'. Пусть h' --- луч прямой a', исходящий из некоторой точки O'. Тогда на плоскости \alpha' существует один и только один луч k' такой, что \angle(h,k) конгруэнтен \angle(h',k') и при этом все внутренние точки \angle(h',k') лежат по заданную сторону от прямой a'. Каждый угол конгруэнтен самому себе. - Пусть A, B и C --- три точки, не лежащие на одной прямой, A', B' и C' --- три другие точки, также не лежащие на одной прямой. Тогда, если отрезок AB конгруэнтен отрезку A'B', отрезок AC конгруэнтен отрезку A'C' и \angle~BAC конгруэнтен \angle~B'A'C', то \angle~ABC конгруэнтен \angle~A'B'C' и \angle~ACB конгруэнтен \angle~A'C'B'. ==== Аксиомы непрерывности ==== - ( **Аксиома Архимеда** ) Пусть AB и CD --- произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками A и B, существует конечное число точек A_1, A_2, \ldots, A_n, расположенных так, что точка A_1 лежит между A и A_2, точка A_2 лежит между A_1 и A_3, ... , точка A_{n-1} лежит между A_{n-2} и A_n, причем отрезки AA_1, A_1A_2, ... , A_{n-1}A_n конгруэнтны отрезку CD и точка B лежит между A и A_n. - ( **Аксиома линейной полноты** ) Совокупность всех точек произвольной прямой a нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы: - на пополненной прямой были определены соотношения //лежит между// и //конгруэнтны//, определен порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности 1-3 и аксиома Архимеда; - по отношению к преждним точкам прямой определенные на пополненной прямой соотношения //лежит между// и //конгруэнтны// сохраняли старый смысл. ==== Аксиома параллельности ==== - Пусть a --- произвольная прямая и A --- точка, лежащая вне прямой a, тогда в плоскости \alpha, определяемой точкой A и прямой a ((Такая плоскость существует по теореме 4.)), существует не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a. ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2183680/?partner=lds1938|Ефимов Н.В. «Высшая геометрия», Физматлит, 2003.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3001330/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Аналитическая геометрия», Физматлит, 2007.]] {{tag>"аналитическая геометрия", "аксиома архимеда" "аксиома линейной полноты" "аксиома паша" "аксиоматика" "аксиомы элементарной геометрии" }}