====== Поле частных целостного кольца ======
===== Определение =====
Пусть <latex> A </latex> --- [[:glossary:ring|коммутативная]] [[:glossary:ring:element:zero-divisor|область целостности]]. Положим <latex>A^*=A\backslash\{0\}</latex>.

__Определение 1.__ Рассмотрим множество упорядоченных пар <latex>A\times A^*=\{(n,m)|n\in A,m\in A^*\}</latex>. Две упорядоченные пары <latex>(n,m)</latex> и <latex>(s,t)</latex> будем считать эквивалентными, если <latex>nt=ms</latex>. Множество [[:glossary:relation:equivalence|классов эквивалентности]] на <latex>A\times A^*</latex> обозначим через <latex>Q(A)</latex>. Определим на <latex>Q(A)</latex> операции [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] <latex> + </latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] <latex>\cdot</latex> по правилу:
  - <latex>\overline{(n,m)}\cdot\overline{(s,t)}=\overline{(ns,mt)}</latex>,
  - <latex>\overline{(n,m)}+\overline{(s,t)}=\overline{(nt+ms,mt)}</latex>,
где <latex>\overline{(n,m)}</latex> обозначает класс эквивалентности элемента <latex>(n,m)</latex>.
Множество <latex>Q(A)</latex> с указанными операциями будем называть **полем отношений**, или **полем частных**((quotient field)) кольца <latex> A </latex>.

__Предложение 1.__ Построенный в определении 1 объект <latex>Q(A)</latex> является [[:glossary:field|полем]], нулевой элемент которого равен <latex>\overline{(0,1)}</latex>, а единичный --- <latex>\overline{(1,1)}</latex>.

__Пример 1.__ [[:glossary:set:integer:rational|Поле рациональных чисел]] <latex>\mathbb{Q}</latex> --- это в точности поле частных <latex>Q(\mathbb{Z})</latex> [[:glossary:set:integer|кольца целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "множество рациональных чисел" "поле отношений" "поле частных"}}