====== Полное поле ======
===== Описание =====
Пусть F --- [[:glossary:field|поле]].
__Определение 1.__ **Абсолютным значением**((absolute value)) v на F называется [[:glossary:mapping|вещественнозначная функция]] x\mapsto\lvert x\rvert_v на F , удовлетворяющая следующим условиям:
- \lvert x\rvert_v\geqslant 0 для всех x\in F, причем \lvert x\rvert_v=0 тогда и только тогда, когда x=0;
- \lvert xy\rvert_v=\lvert x\rvert_v\lvert y\rvert_v для всех x,y\in F;
- \lvert x+y\rvert_v\leqslant\lvert x\rvert_v+\lvert y\rvert_v.
__Определение 2.__ **Нормированием**((valuation)) v на F называется вещественнозначная функция x\mapsto\lvert x\rvert_v на F , удовлетворяющая следующим условиям:
- \lvert x\rvert_v\geqslant 0 для всех x\in F, причем \lvert x\rvert_v=0 тогда и только тогда, когда x=0;
- \lvert xy\rvert_v=\lvert x\rvert_v\lvert y\rvert_v для всех x,y\in F;
- \lvert x+y\rvert_v\leqslant\max{(\lvert x\rvert_v,~\lvert y\rvert_v)}.
__Определение 3.__ Абсолютное значение, для которого \lvert x\rvert_v=1 при любом ненулевом x\in F, называется **тривиальным**((trivial)).
Абсолютное значение v на F [[:glossary:topology:metric|определяет метрику]], расстояние в которой между точками x и y из F равно \lvert x-y\rvert_v.
__Определение 4.__ Поле F будем называть **полным**((complete field)), если оно полно как [[:glossary:topology:metric|метрическое пространство]] (F,v).
===== Примеры =====
* Функция на поле действительных чисел \mathbb{R}, ставящая в соответствие числу x\in\mathbb{R} его модуль \lvert x\rvert является абсолютным значением на \mathbb{R}.
* Поле рациональных чисел \mathbb{Q} с абсолютным значением x\mapsto\lvert x\rvert не является полным, так как в нем существует последовательность \{(1+\frac{1}{n})^n\}, сходящаяся к иррациональному числу.
* Поле действительных \mathbb{R} с абсолютным значением x\mapsto\lvert x\rvert является полным.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1511428/?partner=lds1938|Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа», т.1, Высшая школа, 1981.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "абсолютное значение" "метрика" "нормирование" "поле" "полное поле"}}