====== Характеристика поля ======
проверено
===== Характеристика кольца =====
Пусть A --- [[:glossary:ring|коммутативная]] [[:glossary:ring:element:zero-divisor|область целостности]].
__Определение 1.__ Рассмотрим [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]] \varphi\colon\mathbb{Z}\rightarrow A((определенный однозначно соотношением \varphi(1)=1)). Если [[:glossary:morphism:ring|ядро]] \ker\varphi=0, то говорят, что A --- **кольцо нулевой характеристики**((ring of characteristic 0)). Если ядро \ker\varphi=p\mathbb{Z}=\{pn|n\in\mathbb{Z}\}, то говорят, что A --- **кольцо простой характеристики**((ring of prime characteristic)) p. При этом используют обозначения \textrm{char}~A=0 или \textrm{char}~A=p.
__Замечание 1.__ Так как A --- область целостности, то в случае, когда ядро гомоморфизма \ker\varphi=p\mathbb{Z}, число p является [[:glossary:arithmetic:theorem:fundamental|простым]].
__Замечание 2.__ Каждое [[:glossary:field|поле]] F является областью целостности, поэтому имееют смысл понятия **поля характеристики нуль**((field of characteristic 0)) и **поля простой характеристики**((field of prime characteristic)) p.
===== Простое поле =====
__Определение 2.__ Поле, не имеющее собственного [[:glossary:field#подполе_и_расширение_поля|подполя]], называется **простым**((prime field)).
__Предложение 1.__ Поле F является простым тогда и только тогда, когда F\cong\mathbb{Q} или F\cong\mathbb{Z}_p для некоторого простого p.
__Предложение 2.__ В каждом поле F содержится ровно одно простое поле.
__Предложение 3.__ Характеристика поля F равна p тогда и только тогда, когда оно содержит простое поле \mathbb{Z}_p. Характеристика поля F равна нулю тогда и только тогда, когда оно содержит простое поле \mathbb{Q}.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "область целостности" "поле" "простое поле" "характеристика кольца" "характеристика поля"}}