====== Обратный элемент ======
===== Левый и правый обратный =====
Пусть задана [[:glossary:semigroup|полугруппа]] <latex>(X,\ast)</latex>.

__Определение 1.__ Элемент <latex>x'\in X</latex> называется **левым обратным**((left-inverse element)) к элементу <latex>x\in X</latex>, если выполнено условие <latex>x'\ast x=e</latex>, где <latex>e\in X</latex> --- [[:glossary:element:groupoid:identity|левая единица]].

__Определение 2.__ Элемент <latex>x'\in X</latex> называется **правым обратным**((right-inverse element)) к элементу <latex>x\in X</latex>, если выполнено условие <latex>x\ast x'=e</latex>, где <latex>e\in X</latex> --- [[:glossary:element:groupoid:identity|правая единица]].
===== Определение обратного элемента =====
Пусть <latex>(X,\ast)</latex> --- [[:glossary:monoid|моноид]].

__Определение 3.__ Элемент <latex>x'\in X</latex> называется **обратным**((inverse element)) к элементу <latex>x\in X</latex>, если он одновременно левый обратный и правый обратный, то есть <latex>x'\ast x=x\ast x'=e</latex>, где <latex>e\in X</latex> --- [[:glossary:element:groupoid:identity|единица]]. Элемент <latex>x</latex> при этом называют **обратимым**((invertible)).

Если операция <latex>\ast</latex> [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|мультипликативна]], то элемент обратный к <latex>x</latex> обычно обозначают символом <latex>x^{-1}</latex>.

__Пример 1.__ Обратным элементом для <latex>\dfrac{m}{n}</latex> в [[:glossary:field|поле]] [[:glossary:set:integer:rational|рациональных чисел]] <latex>\mathbb{Q}</latex> является <latex>\dfrac{n}{m}</latex>.

Если операция <latex>\ast</latex> [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивна]], то элемент обратный к <latex>x</latex> обычно обозначают символом <latex>-x</latex> и называют **противоположным**((opposite)).

__Пример 2.__ Противоположным элементом для <latex>n</latex> в [[:glossary:group#абелева_группа|абелевой группе]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> является <latex>-n</latex>.

__Предложение 1.__ Пусть <latex>S</latex> --- полугруппа, в которой существует левая единица <latex>e</latex>. Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда <latex>e</latex> --- единица и всякий левый обратный является также обратным, то есть <latex>S</latex> --- [[:glossary:group|группа]].
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Для произвольного <latex>x\in S</latex> по условию <latex>ex=x</latex> и для каждого <latex>x\in S</latex> найдется элемент <latex>x'</latex> такой, что <latex>x'\ast x=e</latex>. Для <latex>x'</latex> также найдется элемент <latex>x''</latex>, чтобы <latex>x''\ast x'=e</latex>. Тогда запишем цепочку равенств <WRAP centeralign><latex>x\ast e=e\ast(x\ast e)=(e\ast x)\ast e=((x''\ast x')\ast x)\ast e=(x''\ast(x'\ast x))\ast e=</latex><latex>(x''\ast e)\ast e=x''\ast(e\ast e)=x''\ast e=x''\ast(x'\ast x)=(x''\ast x')\ast x=e\ast x=x</latex>.</WRAP>
Таким образом, <latex>e</latex> --- правая единица, а значит, единица. Теперь <WRAP centeralign><latex>x\ast x'=e\ast(x\ast x')=(e\ast x)\ast x'=((x''\ast x')\ast x)\ast x'=</latex><latex>(x''\ast(x'\ast x))\ast x'=(x''\ast e)\ast x'=x''\ast x'=e</latex>.
</WRAP>
Таким образом, <latex>x'</latex> --- правый обратный, а значит, обратный.
</hidden>

__Предложение 2.__ Если в моноиде <latex>(X,\ast)</latex> для элемента <latex>x</latex> существует обратный, то он единственный, то есть если <latex>x'\ast x=x\ast x'=e=x''\ast x=x\ast x''</latex>, то <latex>x'=x''</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Действительно, из соотношений <latex>x\ast x''=e</latex> и <latex>x'\ast x=e</latex> следует, что
<WRAP centeralign>
<latex>x'=x'\ast e=x'\ast (x\ast x'')=(x'\ast x)\ast x''=e\ast x''=x''</latex>.
</WRAP>

</hidden>
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "левый обратный" "правый обратный" "обратимый элемент" "обратный элемент" "моноид" "полугруппа" "противоположный элемент"}}