====== Нейтральный элемент ======
===== Единица =====
Пусть задан [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|группоид]] <latex>(X,\ast)</latex>.

__Определение 1.__ Элемент <latex>e\in X</latex> называется **нейтральным слева**, или **левой единицей**((left-handed identity element)), если выполнено условие <latex>e\ast x=x</latex> для любого <latex>x\in X</latex>.

__Определение 2.__ Элемент <latex>e\in X</latex> называется **нейтральным справа**, или **правой единицей**((right-handed identity element)), если выполнено условие <latex>x\ast e=x</latex> для любого <latex>x\in X</latex>.

__Определение 3.__ Элемент <latex>e\in X</latex> называется **нейтральным**, или **единицей**((identity element)), если он нейтральный слева и нейтральный справа, то есть <latex>e\ast x=x\ast e=x</latex> для любого <latex>x\in X</latex>.

__Замечание 1.__ Обычно термин //единица// употребляют, если операция <latex>\ast</latex> [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|мультипликативна]], при этом часто вместо обозначения <latex>e</latex> используют символ <latex>1</latex>.

__Пример 1.__ Единичный элемент <latex>E</latex> в группе невырожденных [[:glossary:matrix|матриц]] <latex>\mathcal{M}_n(F)</latex> порядка <latex>n</latex> над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex> иногда обозначается символом <latex>I</latex>.

__Предложение 1.__ Если в группоиде <latex>X</latex> существуют левая единица и правая единица, то они совпадают.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть <latex>e'</latex> --- левая единица и <latex>e''</latex> --- правая единица. Тогда из определения левой единицы следует, что <latex>e'e''=e''</latex>, а из определения правой --- <latex>e'e''=e'</latex>. Откуда <latex>e'=e''</latex>.
</hidden>
===== Нулевой элемент =====
__Определение 5.__ Если операция <latex>\ast</latex> [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивна]], то нейтральный элемент обычно обозначают символом <latex>0</latex> и называют **нулевым**((null element)).

__Пример 2.__ Нулевой элемент 0 [[:glossary:group#абелева_группа|абелевой группы]] <latex>\mathbb{Z}</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:operation:binary:algebraic|Бинарная алгебраическая операция]]
  * [[:glossary:element:semigroup:inverse|Обратный элемент]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/17563348/?partner=lds1938|Курош А.Г. «Курс высшей алгебры», Лань, 2008.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "группоид" "единица" "нейтральный элемент" "нулевой элемент"}}