====== Функтор ======
===== Определение функтора =====
Пусть даны [[:glossary:category|категории]] <latex>\mathcal{A}</latex> и <latex>\mathcal{B}</latex>.

__Определение 1.__ **Ковариантный функтор**((covariant functor)) <latex> F </latex> из категории <latex>\mathcal{A}</latex> в <latex>\mathcal{B}</latex> состоит из:
  * отображения [[:glossary:category|объектов]]: каждому объекту <latex> A </latex> из <latex>\mathcal{A}</latex> ставится в соответствие объект <latex>F(A)</latex> из <latex>\mathcal{B}</latex>;
  * отображения [[:glossary:category|морфизмов]]: каждому морфизму <latex>f:A\rightarrow B</latex> из <latex>\mathcal{A}</latex> ставится в соответствие морфизм <latex>F(f):F(A)\rightarrow F(B)</latex> из <latex>\mathcal{B}</latex>, причем
    - <latex>F(1_B)=1_{F(B)}</latex> для любого <latex>B\in\textrm{Ob}(\mathcal{A})</latex>;
    - <latex>F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)</latex>, для всех <latex> f </latex> и <latex> g </latex>, таких, что определена [[:glossary:category|композиция]] <latex>g\circ f</latex>.

__Определение 2.__ **Контравариантный функтор**((contravariant functor)) <latex> F </latex> из категории <latex>\mathcal{A}</latex> в <latex>\mathcal{B}</latex> состоит из:
  * отображения объектов: каждому объекту <latex> A </latex> из <latex>\mathcal{A}</latex> ставится в соответствие объект <latex>F(A)</latex> из <latex>\mathcal{B}</latex>;
  * отображения морфизмов: каждому морфизму <latex>f:A\rightarrow B</latex> из <latex>\mathcal{A}</latex> ставится в соответствие морфизм <latex>F(f):F(A)\rightarrow F(B)</latex> из <latex>\mathcal{B}</latex>, причем
    - <latex>F(1_B)=1_{F(B)}</latex> для любого <latex>B\in\textrm{Ob}(\mathcal{A})</latex>;
    - <latex>F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)</latex>, для всех <latex> f </latex> и <latex> g </latex>, таких, что определена [[:glossary:category|композиция]] <latex>g\circ f</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>\mathfrak{Grp}</latex> --- [[:glossary:category:group|категория групп]], <latex>\mathfrak{Set}</latex> --- [[:glossary:category:set|категория множеств]]. Рассмотрим функтор <latex> F </latex>, который каждой [[:glossary:group|группе]] <latex> G </latex> ставит в соответствие множество ее элементов <latex>F(G)</latex>, а каждому [[:glossary:morphism:group|гомоморфизму групп]] <latex>f:G\rightarrow G'</latex> сопоставляет то же отображение, рассматриваемое как [[:glossary:mapping|отображение множеств]]. Такой функтор называется **стирающим**((forgetful functor)). Вместо категории групп можно рассматривать категории колец, алгебр, моноидов и так далее.

__Пример 2.__ Пусть <latex>\mathcal{A}</latex> --- некоторая категория, <latex>A\in\textrm{Ob}\mathcal{A}</latex>. Тогда отображения <latex>F_A:\textrm{Ob}\mathcal{A}\rightarrow\textrm{Ob}\mathfrak{Set}</latex> и <latex>F_A(\varphi):\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,C)</latex>, заданные правилом <latex>F_A(B)=\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)</latex> и <latex>F_A(\varphi)(g)=\varphi\circ g</latex> для произвольных <latex>A,B,C\in\textrm{Ob}\mathcal{A}</latex>, морфизма <latex>\varphi:B\rightarrow C</latex> и морфизма <latex>g\in\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)</latex>, задают ковариантный функтор <latex>F_A:\mathcal{A}\rightarrow\mathfrak{Set}</latex>. Этот функтор называется **представляющим**((representing functor)).
===== Естественное преобразование функторов =====
__Определение 3.__ Пусть даны два функтора <latex>F,G:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}</latex>.    **Естественное преобразование**((natural transformation)), или **морфизм функторов**((morphism of functors)) <latex>\tau:F\rightarrow G</latex> --- это функция, которая каждому объекту <latex>A\in\mathcal{A}</latex> сопоставляет морфизм <latex>\tau(A):F(A)\rightarrow G(A)</latex> таким образом, что для каждого морфизма <latex>f:A\rightarrow B</latex> из <latex>\mathcal{A}</latex> следующая диаграмма коммутативна:\\
<latex>\begin{diagram}
\node{F(A)}\arrow[2]{e,t}{\tau(A)}\arrow[2]{s,l}{F(f)}\node[2]{G(A)}\arrow[2]{s,r}{G(f)}\\ \\
\node{F(B)}\arrow[2]{e,b}{\tau(B)}\node[2]{G(B).}
\end{diagram}</latex>\\
Если для каждого <latex> A </latex> компонента <latex>\tau(A)</latex> обратима в <latex>\mathcal{B}</latex>, то <latex>\tau</latex> называется **естественным изоморфизмом**((natural isomorphism)).
===== Типы функторов =====
__Определение 4.__ Функтор <latex>F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}</latex> называется **строгим**((faithful functor)), если для любых <latex>A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{A}</latex> отображение <latex>F:\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)</latex> является вложением.

__Определение 5.__ Функтор <latex>F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}</latex> называется **полным**((full functor)), если для любых <latex>A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{A}</latex> отображение <latex>F:\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)</latex> сюръективно.
===== См. также =====
  * [[:glossary:category|Категория]]
===== Литература =====
  * Букур И., Деляну А. <<Введение в теорию категорий и функторов>>, Мир, 1972.
  * Гельфанд С.И., Манин Ю.И. <<Методы гомологической алгебры>>, т.1, Наука, 1988.
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3250036/?partner=lds1938|Маклейн С. «Категории для работающего математика», Физматлит, 2004.]]

{{tag>"теория категорий" "естественное преобразование" "естественный изоморфизм" "ковариантный функтор" "контравариантный функтор" "морфизм функторов" "полный функтор" "стирающий функтор" "строгий функтор"}}