====== Категория ======
===== Определение категории =====
__Определение 1.__ **Категория**((category)) <latex>\mathcal{A}</latex> включает в себя
  - совокупность предметов <latex>\textrm{Ob}(\mathcal{A})</latex>, называемых **объектами**((object));
  - совокупность предметов <latex>\textrm{Ar}(\mathcal{A})</latex>, называемых **стрелками**((arrow)), или **морфизмами**((morphism));
  - операции, ставящие в соответствие каждому морфизму <latex> f </latex> объект <latex>\textrm{dom}f</latex> --- начало морфизма <latex> f </latex>; и объект <latex>\textrm{cod}f</latex> --- конец морфизма <latex> f </latex>. Тот факт, что <latex>A=\textrm{dom}f</latex> и <latex>B=\textrm{cod}f</latex> избражается так: <latex>f:A\rightarrow B</latex> или <latex>A\xrightarrow{f}B</latex>;
  - операцию, ставящую в соответствие каждой паре <latex>\langle g,f\rangle</latex> морфизмов с <latex>\textrm{dom}g=\textrm{cod}f</latex>, морфизм <latex>g\circ f:\textrm{dom}f\rightarrow\textrm{cod}g</latex>, **композицию**((composition)) <latex> f </latex> и <latex> g </latex>. Причем выполняется\\ **закон ассоциативности:**((associative law)) Пусть <latex>A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{h}D</latex> --- конфигурация объектов и морфизмов. Тогда <latex>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f</latex>;
  - сопоставление каждому объекту <latex>B\in\textrm{Ob}(\mathcal{A})</latex> морфизма <latex>1_B:B\rightarrow B</latex>, называемого **единичным**, или **тождественным морфизмом**((identity arrow)), так что выполнен\\ **закон тождества:**((law of identity)) Для любых морфизмов <latex>f:A\rightarrow B</latex> и <latex>g:B\rightarrow C</latex> имеем <latex>1_B\circ f=f</latex> и <latex>g\circ 1_B=g</latex>.

Множество морфизмов из <latex> A </latex> в <latex> B </latex> обозначается <latex>\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)</latex> или <latex>\textrm{Hom}(A,B)</latex>.

__Пример 1.__ Категория множеств <latex>\mathfrak{Set}</latex>. Объектами этой категории являются [[:glossary:set|множества]], а морфизмами --- [[:glossary:mapping|отображения множеств]]. Легко проверить, что аксиомы категории выполнены.

__Пример 2.__ Категория групп <latex>\mathfrak{Grp}</latex>. Объектами являются [[:glossary:group|группы]], а морфизмами --- [[:glossary:morphism:group|гомоморфизмы групп]].

__Пример 3.__ Категория топологических пространств <latex>\mathfrak{Top}</latex>. Объектами являются [[:glossary:topology|топологические пространства]], а морфизмами --- [[:glossary:topology:mapping:continuous|непрерывные отображения]] топологических пространств.

__Определение 2.__ **Подкатегория** <latex>\mathcal{B}</latex> категории <latex>\mathcal{A}</latex> --- это совокупность некоторых объектов и морфизмов из <latex>\mathcal{A}</latex> такая, что
  - вместе с каждым морфизмом <latex> f </latex> в <latex>\mathcal{B}</latex> содержатся <latex>\textrm{dom}f</latex> и объект <latex>\textrm{cod}f</latex>;
  - вместе с каждым объектом <latex> B </latex> содержится единичный морфизм <latex>1_B</latex>;
  - вместе с каждой парой перемножаемых морфизмов <latex> f </latex> и <latex> g </latex> --- их композиция <latex>g\circ f</latex>.

__Определение 3.__ Подкатегория <latex>\mathcal{B}</latex> категории <latex>\mathcal{A}</latex> называется **полной**((full)), если для произвольных <latex>A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{B}</latex> выполнено: <latex>\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)=\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)</latex>.
===== Морфизмы в категории =====
__Определение 4.__ Морфизм <latex>f\in\textrm{Hom}(A,B)</latex> называется **мономорфизмом**((monomorphism)), или **мономорфной стрелкой**((monomorphic arrow)), если для любых двух морфизмов <latex>g,h\in\textrm{Hom}(C,A)</latex> из равенства <latex>f\circ g=f\circ h</latex> следует <latex>g=h</latex>.

__Определение 5.__ Морфизм <latex>f\in\textrm{Hom}(A,B)</latex> называется **эпиморфизмом**((epimorphism)), или **эпиморфной стрелкой**((epimorphic arrow)), если для любых двух морфизмов <latex>g,h\in\textrm{Hom}(B,C)</latex> из равенства <latex>g\circ f=h\circ f</latex> следует <latex>g=h</latex>.

__Определение 6.__ Морфизм <latex> f </latex> называется **биморфизмом**((bimorphism)), если он одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом.

__Определение 7.__ Морфизм <latex>f\in\textrm{Hom}(A,B)</latex> называется **изоморфизмом**((isomorphism)), если существует морфизм <latex>g:B\rightarrow A</latex> такой, что <latex>g\circ f</latex> и <latex>f\circ g</latex> являются тождественными морфизмами в <latex>\textrm{Hom}(A,A)</latex> и <latex>\textrm{Hom}(B,B)</latex> соответственно.

Заметим, что всякий изоморфизм является биморфизмом. Обратное, вообще говоря, не имеет места. Действительно, в категории моноидов гомоморфизм <latex>\mathbb{Z}_{+}\rightarrow\mathbb{Z}</latex> является биморфизмом, но не является изоморфизмом.

__Определение 8.__ Морфизмы объекта <latex> A </latex> в себя называются **эндоморфизмами**((endomorphism)). Множество эндоморфизмов объекта <latex> A </latex> обозначается символом <latex>\textrm{End}(A)</latex>. Из аксиом категории вытекает, что <latex>\textrm{End}(A)</latex> --- [[:glossary:monoid|моноид]].

__Определение 9.__ Изоморфизмы объекта <latex> A </latex> в себя называются **автоморфизмами**((automorphism)). Множество автоморфизмов объекта <latex> A </latex> обозначается символом <latex>\textrm{Aut}(A)</latex>. Это множество в действительности является [[:glossary:group|группой]].
===== См. также =====
  * [[:glossary:category:functor|Функтор]]
===== Литература =====
  * Гельфанд С.И., Манин Ю.И. <<Методы гомологической алгебры>>, т.1, Наука, 1988.
  * Голдблатт Р. <<Топосы. Категорный анализ логики>>, Мир, 1983.
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3250036/?partner=lds1938|Маклейн С. «Категории для работающего математика», Физматлит, 2004.]]

{{tag>"теория категорий" "автоморфизм" "биморфизм" "группа" "закон композиции" "изоморфизм" "категория" "множество" "моноид" "мономорфизм" "морфизм" "объект категории" "отображение" "подкатегория" "стрелка" "эндоморфизм" "эпиморфизм"}}