====== Тензорная алгебра ======
проверено
===== Определение =====
Пусть M --- [[:glossary:module#левый_модуль|левый унитарный модуль]] над [[:glossary:ring|ассоциативным коммутативным кольцом с единицей]] R и пусть T^r(M)=\underbrace{M\otimes\ldots\otimes M}_r --- [[glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_коммутативным_кольцом|тензорное произведение]] модулей M, взятое r раз, r>0. Положим T^0(M)=R.
__Определение 1.__ **Тензорной алгеброй**((tensor algebra)) над модулем M называется левый R-модуль T(M)=T^0(M)\oplus T^1(M)\oplus T^2(M)\oplus\ldots\oplus T^r(M)\oplus\ldots с операцией умножения \otimes, определенной правилом: (e_1\otimes\ldots\otimes e_r)\otimes(f_1\otimes\ldots\otimes f_q)=e_1\otimes\ldots\otimes e_r\otimes f_1\otimes\ldots\otimes f_q\in T^{r+q}(M) для произвольных e_1\otimes e_2\otimes\ldots\otimes e_r\in T^r(M),\ f_1\otimes f_2\otimes\ldots\otimes f_q\in T^q(M).
__Замечание 1.__ Операция \otimes задает на модуле T(M) структуру R-[[:glossary:algebra|алгебры]]((вообще говоря, некоммутативной)).
===== Тензорная алгебра над свободным модулем =====
Предположим, что R-модуль M --- [[glossary:module:free|свободный]] и [[:glossary:module:free|конечномерный]] с [[:glossary:module:free|базисом]] \{e_1,\ldots,e_n\}. В этом случае элементы вида e_{i_1}\otimes\ldots\otimes e_{i_r} образуют базис модуля T^r(M),r>0 и каждый элемент из T(M) имеет единственное представление в виде конечной суммы a_0+\underset{r>0}{\sum}a_{i_1\ldots i_r}e_{i_1}\otimes\ldots\otimes e_{i_r}. То есть T(M) --- свободный бесконечномерный R-модуль.
__Предложение 1.__ Если модуль M [[:glossary:module:free|одномерен]], то тензорная алгебра T(M) [[:glossary:morphism:algebra|изоморфна]] [[:glossary:ring:polynomial|алгебре многочленов]] от одной переменной R[T]. При этом элементу \underbrace{m\otimes\ldots\otimes m}_r\in T^r(M) ставится в соответствие T^r\in R[T].
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "алгебра" "кольцо многочленов" "тензорная алгебра" "тензорное произведение"}}