====== Моноидная алгебра ======
===== Описание =====
__Определение 1.__ **Моноидной алгеброй**((monoid algebra)) [[:glossary:monoid|моноида]] <latex> M </latex> над [[:glossary:ring|коммутативным кольцом с единицей]] <latex> R </latex> называется [[:glossary:algebra|алгебра]] <latex>R[M]</latex>, [[:glossary:module:free|базисные элементы]] которой  занумерованы элементами моноида <latex> M </latex>, причем произведение базисных элементов с номерами <latex>g,h\in M</latex> есть базисный элемент с номером <latex>gh</latex>.
Обычно базисные элементы алгебры <latex>R[M]</latex> отождествляются с элементами моноида <latex> M </latex>. Тогда всякий элемент алгебры <latex>R[M]</latex> записывается в виде <latex>r=\underset{m\in M}{\sum}r_mm~(r_m\in R)</latex>.

__Пример 1.__ [[:glossary:ring:polynomial|Кольцо многочленов]] <latex>F[X]</latex> над [[:glossary:field|полем]] <latex> F </latex> является моноидной алгеброй.

__Определение 2.__ В случае, когда моноид <latex> M </latex> является [[:glossary:group|группой]], соответствующую алгебру <latex>R[M]</latex> называют **групповой алгеброй**((group algebra)).

__Пример 2.__ Пусть <latex> G </latex> --- мультипликативная группа, порожденная элементом <latex> x </latex> [[:glossary:group:element:order|бесконечного порядка]], <latex> R </latex> --- коммутативное кольцо с единицей, тогда <latex>R[G]=R[x,x^{-1}]</latex>((Стоит обратить внимание, что элементам <latex>x^i\in G</latex> взаимно однозначно соответствуют функции <latex>x^i\in N\langle S\rangle</latex>.)), где <latex>R[x,x^{-1}]</latex> --- кольцо многочленов, порожденное множеством <latex>S=\{x,x^{-1}\}</latex>, является групповой алгеброй
===== Теорема Машке =====
__Теорема 1.__ Пусть <latex> G </latex> --- конечная группа [[:glossary:group:factor#индекс_подгруппы|порядка]] <latex>\textrm{ord}\thickspace G</latex>, <latex> F </latex> --- поле [[:glossary:field:characteristic|характеристики]] 0 или конечной характеристики <latex>p\nmid\textrm{ord}\thickspace G</latex>. Тогда групповая алгебра <latex>F[G]</latex> полупроста.

__Пример 3.__ Пусть <latex> G </latex> --- конечная группа порядка <latex>\textrm{ord}\thickspace G</latex> и поле <latex> F </latex> имеет характеристику <latex> p </latex>, делящую <latex>\textrm{ord}\thickspace G</latex>. Рассмотрим элемент <latex>a=\underset{g\in G}{\sum}g\in F[G]</latex>. Тогда <latex>a\neq 0</latex> и лежит в центре алгебры <latex>F[G]</latex>. Из кратности порядка группы характеристике поля следует, что <latex>a^2=(\textrm{ord}\thickspace G)a=0</latex> и идеал <latex>F[G]a</latex> [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентный]]. Таким образом <latex>F[G]</latex> не может быть полупростой.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1255737/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "алгебра" "ассоциативное кольцо" "базис модуля" "группа" "групповая алгебра" "кольцо с единицей" "коммутативное кольцо" "моноид" "моноидная алгебра"}}