====== Левый модуль над алгеброй Ли ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Пусть L --- [[:glossary:algebra:lie|алгебра Ли]] над [[:glossary:ring|коммутативным ассоциативным кольцом с единицей]] R, и пусть V --- [[:glossary:module#левый_модуль|левый ]]R[[:glossary:module#левый_модуль|-модуль]]. Назовем V **левым модулем над алгеброй Ли**((left module)) L, или L-модулем, если определено отображение
L\times V\rightarrow V\colon (x,v)=x\cdot v,
удовлетворяющее условиям
- (r_1x+r_2y)\cdot v=r_1x\cdot v+r_2y\cdot v для всех r_1,r_2\in R, x,y\in L и v\in V;
- x\cdot(r_1v_1+r_2v_2)=r_1x\cdot v_1+r_2x\cdot v_2 для всех r_1,r_2\in R, x\in L и v_1,v_2\in V;
- [x,y]\cdot v=x\cdot(y\cdot v)-y\cdot(x\cdot v) для всех x,y\in L и v\in V.
__Определение 1'.__ Пусть L --- [[:glossary:algebra:lie|алгебра Ли]] над [[:glossary:ring|коммутативным ассоциативным кольцом с единицей]] R, и пусть U(L) --- [[:glossary:algebra:universal:enveloping|универсальная обертывающая алгебра]] алгебры Ли L. [[:glossary:module#левый_модуль|Левый унитарный ]]U(L)[[:glossary:module#левый_модуль|-модуль]] V называется **левым модулем над алгеброй Ли**((left module)) L.
Каждое [[:glossary:algebra:lie:representation|представление алгебры Ли]] L, \varphi\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(V) задает структуру левого модуля над алгеброй Ли L по правилу x\cdot v=\varphi(x)(v) для произвольных x\in L, v\in V.
===== См. также =====
* [[:glossary:algebra:lie:representation|Представление алгебры Ли]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4327116/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры и группы Ли», Физматлит, 1962.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2128164/?partner=lds1938|Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», МЦНМО, 2003.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "алгебры ли" "алгебра Ли" "левый модуль" "представление алгебры ли"}}