====== Классические алгебры Ли ====== ===== Полная линейная алгебра ===== Пусть V --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:field|полем]] F, и \textrm{End}(V) --- алгебра [[:glossary:morphism:space:linear|линейных операторов]] на V, где умножением является композиция линейных операторов. __Определение 1.__ [[:glossary:algebra:lie#алгебра_ли_ассоциативной_алгебры|Алгебра Ли ассоциативной алгебры]] \textrm{End}(V) с операцией умножения [x,y]=x\circ y-y\circ x для любых x,y\in\textrm{End}(V) называется **полной линейной алгеброй**((general linear Lie algebra)) и обозначается символом \mathfrak{gl}(V). Пусть пространство V [[:glossary:space:linear:basis|конечномерно]], \dim~V=n. Зафиксировав в V некоторый [[:glossary:space:linear:basis|базис]], можно каждому линейному оператору x взаимно однозначно поставить в соответствие матрицу порядка n с коэффициентами из F. В результате пространство \mathfrak{gl}(V) отождествляется с пространством \textrm{Mat}_n(F) матриц порядка n((Пример 2 статьи [[:glossary:algebra:lie|Алгебра Ли]].)), которое обозначается через \mathfrak{gl}_n(F). Стандартный базис алгебры \mathfrak{gl}_n(F) состоит из матриц E_{ij}, у которых в i-й строке, j-м столбце стоит 1, а в остальных позициях --- нули. __Определение 2.__ Любая подалгебра в \mathfrak{gl}(V) называется **линейной алгеброй Ли**((linear Lie algebra)). ===== Специальная линейная алгебра ===== Пусть \dim~V=n+1. __Определение 3.__ Множество \mathfrak{sl}(V) [[:glossary:morphism:space:linear#частные_случаи|эндоморфизмов]] пространства V с нулевым [[:glossary:operator:linear:characteristic|следом]] является подалгеброй в \mathfrak{gl}(V), которая называется **специальной линейной алгеброй**((special linear algebra)). Матричная реализация этой алгебры обозначается через \mathfrak{sl}_{n+1}(F) и имеет следующий стандартный базис: * E_{ij} при 1\leqslant i\neq j\leqslant n+1, * E_{ii}-E_{i+1,i+1}, где 1\leqslant i\leqslant n. ===== Ортогональная алгебра ===== ==== Случай пространства нечетной размерности ==== Пусть \dim~V=2n+1. Обозначим через S матрицу \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & I_n\\ 0 & I_n & 0\end{pmatrix}, где I_n --- [[:glossary:matrix|единичная матрица]] порядка n. Данная матрица определяет симметрическую невырожденную [[:glossary:mapping:bilinear#билинейная_форма|билинейную форму]] \psi_S на пространстве V. __Определение 4.__ Множество всех линейных операторов x на пространстве V, удовлетворяющих условию \psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0 для любых u,v\in V, образует подалгебру в \mathfrak{gl}(V), которая обозначается через \mathfrak{o}(V) и называется **ортогональной линейной алгеброй**((ortogonal linear algebra)). Матричная реализация этой алгебры обозначается через \mathfrak{o}_{2n+1}(F). Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц((здесь предполагается, что характеристика поля \textrm{char}~p>2)) * E_{i,j+n}-E_{j,i+n}, где 1\leqslant i, * E_{i+n,j}-E_{j+n,i}, где 1\leqslant j, * E_{ij}-E_{j+n,i+n}, где 1\leqslant i\neq j\leqslant n, * E_{ii}-E_{i+n,i+n}, где 1\leqslant i\leqslant n. ==== Случай пространства четной размерности ==== Пусть \dim~V=2n. Обозначим через S матрицу \begin{pmatrix}0 & I_n\\ I_n & 0\end{pmatrix}. Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму \psi_S на пространстве V. __Определение 5.__ Множество всех линейных операторов x на пространстве V, удовлетворяющих условию \psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0 для любых u,v\in V, образует подалгебру в \mathfrak{gl}(V), которая обозначается через \mathfrak{o}(V) и называется **ортогональной линейной алгеброй**((ortogonal linear algebra)). Матричная реализация этой алгебры обозначается через \mathfrak{o}_{2n}(F). Стандартным базисом этой алгебры является множество * E_{i,j+n}-E_{j,i+n}, где 1\leqslant i, * E_{i+n,j}-E_{j+n,i}, где 1\leqslant j, * E_{i,i+n}, где 1\leqslant i\leqslant n, * E_{i+n,i}, где 1\leqslant i\leqslant n, * E_{ij}-E_{j+n,i+n}, где 1\leqslant i\neq j\leqslant n, * E_{ii}-E_{i+n,i+n}, где 1\leqslant i\leqslant n. ===== Симплектическая алгебра ===== Пусть \dim~V=2n. Обозначим через S матрицу \begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}, где I_n --- единичная матрица порядка n. Данная матрица определяет кососимметрическую невырожденную билинейную форму \psi_S на пространстве V. __Определение 6.__ Множество всех линейных операторов x на пространстве V, удовлетворяющих условию \psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0 для любых u,v\in V, образует подалгебру в \mathfrak{gl}(V), которая обозначается через \mathfrak{sp}(V) и называется **симплектической линейной алгеброй**((symplectic linear algebra)). Матричная реализация этой алгебры обозначается через \mathfrak{sp}_{2n}(F). Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц * E_{i,j+n}-E_{j,i+n}, где 1\leqslant i, * E_{i+n,j}-E_{j+n,i}, где 1\leqslant j, * E_{i,i+n}, где 1\leqslant i\leqslant n, * E_{i+n,i}, где 1\leqslant i\leqslant n, * E_{ij}-E_{j+n,i+n}, где 1\leqslant i\neq j\leqslant n, * E_{ii}-E_{i+n,i+n}, где 1\leqslant i\leqslant n. ===== Классические алгебры Ли ===== Описанные выше специальная, симплектическая и ортогональная алгебры Ли являются так называемыми классическими алгебрами Ли. Вместе с исключительными алгебрами E_6,E_7,E_8, F_4 и G_2 они составляют полный перечень алгебр Ли над [[:glossary:field:algebraically:closed|алгебраически замкнутым полем]] нулевой [[:glossary:field:characteristic|характеристики]]. | **серия** | A_n | B_n | C_n | D_n | | **матричная реализация** | \mathfrak{sl}_{n+1}(F) | \mathfrak{o}_{2n+1}(F) | \mathfrak{sp}_{2n}(F) | \mathfrak{o}_{2n}(F) | | **размерность** | n^2-1 | n^2+n | n^2+n | n^2-n | | **название матричной реализации** | специальная алгебра | ортогональная алгебра | симплектическая алгебра | ортогональная алгебра | ===== См. также ===== * [[:glossary:matrix|Матрица]] * [[:glossary:morphism:space:linear|Линейное отображение векторных пространств]] ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2128164/?partner=lds1938|Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», МЦНМО, 2003.]] {{tag>"абстрактная алгебра" "алгебры ли" "алгебра Ли" "линейная алгебра ли" "ортогональная алгебра" "полная линейная алгебра" "симплектическая алгебра" "специальная линейная алгебра"}}