====== Алгебра ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]]. Назовем [[:glossary:ring|кольцо]] <latex>A</latex> алгеброй над  <latex>R</latex>, или <latex>R</latex>**-алгеброй**((<latex>R</latex>-algebra)), если на <latex>A</latex> определена структура ([[:glossary:module#левый_модуль|левого]]) <latex>R</latex>-[[:glossary:module#левый_модуль|модуля]], причем структуры кольца и модуля согласованы, то есть
<WRAP centeralign><latex>(r\cdot a_1)a_2=a_1(r\cdot a_2)=r\cdot(a_1 a_2)</latex> для <latex>\forall r\in R</latex> и <latex>\forall a_1,a_2\in A</latex>.</WRAP>

Если кольцо <latex>A</latex> [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативно]], то <latex>A</latex> называется **ассоциативной алгеброй**((assosiative algebra)), если <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring#коммутативное_кольцо|коммутативное кольцо]], то говорят о **коммутативной алгебре**((commutative algebra)) и т.д.

__Определение 2.__ Множество <latex>B\subset A</latex> называется **подалгеброй**((subalgebra)) в <latex>R</latex>-алгебре <latex>A</latex>, если
  - <latex>B</latex> --- <latex>R</latex>-подмодуль;
  - <latex>B</latex> --- подкольцо в <latex>A</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>A</latex> --- произвольное кольцо, тогда <latex>A</latex> можно рассматривать как модуль над кольцом  <latex>\mathbb{Z}</latex>, полагая <latex>r\cdot a=\underbrace{a+a+\ldots+a}_r</latex>. Очевидно, что <latex>A</latex> является алгеброй над кольцом <latex>\mathbb{Z}</latex>.

__Пример 2.__ Множество всех [[:glossary:ring:polynomial#кольцо_многочленов_от_одной_переменной|многочленов]] от одной переменной с [[:glossary:set:integer:rational|рациональными]] коэффициентами <latex>\mathbb{Q}[X]</latex> естественным образом((умножение на скаляры)) наделяется структурой коммутативной алгебры над полем рациональных чисел <latex>\mathbb{Q}</latex>.

__Определение 3.__ Если алгебра <latex>A</latex> является [[:glossary:module:free|свободным модулем]] над кольцом <latex>R</latex>, то **размерностью алгебры**((dimension of algebra)) <latex>A</latex> над называется [[:glossary:module:free|размерность]] <latex>A</latex> как свободного <latex>R</latex>-модуля.

Часто рассматривают алгебры не над произвольным кольцом <latex>R</latex>, а над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>. В этом случае размерность алгебры --- это [[:glossary:space:linear:basis|размерность векторного пространства]] <latex>A</latex> над полем <latex>F</latex>

__Пример 3.__ Рассмотрим [[:glossary:set:complex|поле комплексных чисел]] <latex>\mathbb{C}</latex>. Каждый элемент из <latex>\mathbb{C}</latex> можно единственным образом представить в виде <latex>a+bi</latex>, где <latex>a,b\in\mathbb{R}</latex>. Таким образом, <latex>\mathbb{C}</latex> --- это векторное пространство над полем действительных чисел <latex>\mathbb{R}</latex> с базисом <latex>\{1,i\}</latex>, наделенное операцией умножения. То есть <latex>\mathbb{C}</latex> --- двумерная алгебра над полем <latex>\mathbb{R}</latex>.

Последний пример является частным случаем более общего факта.

__Пример 4.__ Всякое поле <latex>L</latex>, содержащее <latex>K</latex> в качестве подполя, можно рассматривать как алгебру над <latex>K</latex>.

__Определение 4.__ Ассоциативная алгебра называется **полупростой**((semiprimitive algebra)), если она [[:glossary:ring:semiprimitive|полупроста]] как кольцо.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1255737/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4844033/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основные структуры алгебры», МЦНМО, 2009.]] 
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/100718/?partner=lds1938|Серр Ж.-П. «Алгебры Ли и группы Ли», Мир, 1969.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "алгебра" "ассоциативное кольцо" "билинейное отображение" "гомоморфизм модулей" "кольцо с единицей" "коммутативное кольцо" "линейное отображение" "модуль" "подалгебра" "полупростая алгебра" "факторалгебра"}}