====== Нильпотентный идеал ======
===== Определение =====
Пусть R --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]] и \rho некоторый его идеал ([[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|левый]], [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|правый]] или [[:glossary:ring:ideal#двусторонний_идеал|двусторонний]]).
__Определение 1.__ Элемент a\in R называется **нильпотентным**((nilpotent)), если a^m=0 для некоторого целого числа m>0.
__Определение 2.__ Идеал \rho (левый, правый или двусторонний) называется **ниль-идеалом**((nil-ideal)), если каждый из его элементов нильпотентен.
__Определение 3.__ Идеал \rho (левый, правый или двусторонний) называется **нильпотентным**((nilpotent ideal)), если существует целое число m>0 такое, что a_1a_2\ldots a_m=0 для любых a_1,\ldots,a_m\in\rho, то есть \rho^m=0.
Очевидно, что нильпотентный идеал является ниль-идеалом. Обратное, вообще говоря, не верно.
__Предложение 1.__ Каждый нильпотентный элемент кольца [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|квазирегулярен]].
Пусть a^m=0 для m\in\mathbb{N}. Положим b=-a+a^2+\ldots+(-1)^{m-1}a^{m-1}, тогда a+b+ab=a+b+ba=0.
\blacksquare
__Следствие 1.__ Если \rho --- (левый, правый или двусторонний) ниль-идеал ассоциативного кольца R, то он содержится в [[:glossary:ring:radical:jacobson|радикале Джекобсона]] J(R).
__Предложение 2.__ Пусть кольцо R содержит ненулевой нильпотентный левый (правый) идеал, тогда R содержит ненулевой нильпотентный идеал.
Пусть \rho --- ненулевой нильпотентный левый идеал, то есть \rho^m=0 для некоторого m\in\mathbb{N}. Тогда идеал \rhoR --- двусторонний, и (\rho R)^m=0, так как (\rho R)^m=\rho R\rho R\ldots\rho R=\rho(R\rho\ldots R\rho)R\subseteq\rho(\rho\ldots\rho)R=\rho^mR=0.
\blacksquare
===== Литература =====
* Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.
{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "нильпотентный идеал" "нильпотентный элемент"}}