====== Порядок элемента группы ======
===== Описание =====
Пусть <latex>(G,\cdot)</latex> --- [[:glossary:group|группа]] и <latex>a\in G\backslash\{e\}</latex> --- элемент группы.

__Определение 1.__ Говорят, что <latex> a </latex> имеет **порядок**((order)) <latex>\textrm{ord}~a=q</latex>, если <latex> q </latex> --- наименьшее положительное число такое, что <latex>a^q=e</latex>, то есть <latex>\textrm{ord}~a=\min\{n\in\mathbb{N}\vert a^n=e\}</latex>. Если такого положительного <latex> q </latex> не существует, то говорят, что <latex> a </latex> имеет **бесконечный порядок**((infinite order)). Порядок [[:glossary:element:groupoid:identity|единичного элемента]] <latex> e </latex> считается равным нулю.

__Предложение 1.__ Пусть <latex> G </latex> --- конечная группа и <latex>a\in G\backslash\{e\}</latex> --- некоторый ее элемент. Тогда <latex>\textrm{ord}~a</latex> делит [[:glossary:group:factor|порядок группы]] <latex> G </latex>.
===== Примеры =====
  * В [[:glossary:set:integer|множестве целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> любой ненулевой элемент имеет бесконечный порядок.
  * В [[:glossary:group:factor|группе классов вычетов]] <latex>\mathbb{Z}_6</latex> элементы <latex>\overline{1}</latex> и <latex>\overline{5}</latex> имеют порядок 6, элементы <latex>\overline{2}</latex> и <latex>\overline{4}</latex> --- порядок 3, элемент <latex>\overline{3}</latex> --- порядок 2.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "бесконечный порядок" "порядок группы" "порядок элемента"}}