====== Циклическая группа ======
проверено
===== Оределение =====
__Определение 1.__ Группа (G,\cdot) называется **циклической**((cyclic group)), если существует такой элемент a\in G, что любой элемент g\in G записывается в виде g=a^n для некоторого n\in\mathbb{Z}. При этом элемент a называется **образующей**((generator)) циклической группы.
__Замечание 1.__ В случае, если циклическая группа записана аддитивно, то каждый ее элемент представляется в виде na для некоторого n\in\mathbb{Z}.
__Пример 1.__ [[:glossary:set:integer|Множество целых чисел]] \mathbb{Z} является циклической группой бесконечного [[:glossary:group:factor|порядка]] с образующим, равным 1.
__Предложение 1.__ Любая циклическая группа [[:glossary:group#абелева_группа|абелева]].
__Предложение 2.__ Любая подгруппа циклической группы является циклической группой.
__Пример 2.__ [[:glossary:group:factor|Группа классов вычетов]] по модулю n является циклической группой порядка n с образующим \overline{1}.
__Предложение 2.__ Все циклические группы исчерпываются двумя предыдущими примерами с точностью до [[:glossary:morphism:group|изоморфизма]].
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "множество целых чисел" "образующий элемент" "циклическая группа"}}