====== Торы в ограниченной алгебре Ли ======
Пусть <latex>(L,[p])</latex> --- [[:glossary:algebra:lie:restricted|ограниченная алгебра Ли]] над [[:glossary:field|полем]] <latex> F </latex>.
===== Элементы в ограниченной алгебре Ли =====
__Определение 1.__ Элемент <latex>x\in L</latex> называется **p-полупростым**((semisimple)), если <latex>x\in(Fx^{[p]})_p</latex>.

__Определение 2.__ Элемент <latex>x\in L</latex> называется **тороидальным**((toral)), если <latex>x^{[p]}=x</latex>.

__Определение 3.__ Элемент <latex>x\in L</latex> называется **p-нильпотентным**((p-nilpotent)), если существует число <latex>n\in\mathbb{N}</latex> такое, что <latex>x^{[p]^n}=0</latex>.

__Предложение 1.__ Имеют место следующие утверждения:
  * каждый тороидальный элемент p-полупрост;
  * если <latex>x,y\in L</latex> p-полупросты и <latex>[x,y]=0</latex>, то элемент <latex>x+y</latex> p-полупрост.

__Теорема 1.__ Для каждого элемента <latex>x\in L</latex> существует такое натуральное <latex> k </latex>, что элемент <latex>x^{[p]^k}</latex> p-полупрост.
===== Разложение элементов в алгебре =====

__Теорема 2.__ Пусть поле <latex> F </latex> --- [[:gl|совершенно]], и алгебра <latex>(L,[p])</latex> --- конечномерна. Тогда для каждого элемента <latex>x\in L</latex> существуют единственные элементы <latex>x_n,x_s\in L</latex> такие, что
  - <latex>x_n</latex> p-нильпотентен, <latex>x_s</latex> p-полупрост;
  - <latex>x=x_s+x_n</latex> и <latex>[x_s,x_n]=0</latex>.

__Теорема 3.__ Пусть <latex>(L,[p])</latex> ---конечномерная ограниченная алгебра Ли над [[:glossary:field:algebraically:closed|алгебраически замкнутым полем]] <latex> F </latex>. Тогда
  - если <latex> L </latex> абелева и p-отображение взаимно однозначно, то <latex> L </latex> обладает базисом, состоящим из тороидальных элементов;
  - для любого <latex>x\in L</latex> найдутся тороидальные элементы <latex>x_1,\ldots,x_r</latex> и p-нильпотентный элемент <latex>x_n</latex> такие, что <latex>x=x_n+\sum_{i=1}^r\alpha_ix_i</latex> и <latex>[x_n,x_i]=[x_i,x_j]=0</latex>.
===== Торы и подалгебра Картана =====
__Определение 4.__ Подалгебра <latex>T\subset L</latex> называется **тором**((torus)), если
  - <latex> T </latex> [[:glossary:algebra:lie|абелева]];
  - каждый элемент <latex>x\in T</latex> p-полупрост.

__Теорема 4.__ Пусть <latex>H\subset L</latex> подалгебра в конечномерной ограниченной алгебре Ли <latex> L </latex>. Тогда следующие утверждения эквивалентны
  - <latex> H </latex> --- [[:gl|подалгебра Картана]];
  - существует максимальный((по включению)) тор <latex>T\subset L</latex> такой, что <latex>H=C_L(T)</latex> --- [[:gl|централизатор]] <latex> T </latex> в <latex> L </latex>.

__Теорема 5.__ Пусть <latex>(L_1,[p])</latex> и <latex>(L_2,[p])</latex> --- ограниченные алгебры Ли, и <latex>\varphi:L_1\rightarrow L_2</latex> --- [[:glossary:mapping|сюръективный]] [[:glossary:algebra:lie:restricted#гомоморфизмы|p-гомоморфизм]]. Тогда
  - если <latex>T_2</latex> --- максимальный тор в <latex>L_2</latex>, и <latex>T_1</latex> --- максимальный тор в <latex>\varphi^{-1}(T_2)</latex>, то <latex>\varphi(T_1)=T_2</latex>;
  - если <latex>T_1</latex> --- максимальный тор в <latex>L_1</latex>, то <latex>\varphi(T_1)</latex> --- максимальный тор в <latex>L_2</latex>.
===== Литература =====
  * Джекобсон Н. <<Алгебры Ли>>, Мир, 1964.
  * Strade H., Farnsteiner R. <<Modular Lie Algebras and their Representations>>, Marcel Dekker, 1988.

{{tag>"алгебры ли" "ограниченная алгебра ли" "подалгебра картана" "тор" "тороидальный элемент" "p-гомоморфизм" "p-нильпотентный элемент" "p-полупростой элемент"}}