===== 1. Скрученные формы, деформации, жесткость =====
**1.1.** Для данной схемы X будем рассматривать пучки \mathscr{O}_X-алгебр Ли \mathscr{L} с тем свойством, что \mathscr{L} локально свободна ранга N как \mathscr{O}_X-модуль. Такая \mathscr{L} может быть рассмотрена как //непрерывное семейство// N-//мерных алгебр Ли, параметризованных// X. Когда X=\textrm{Spec}~R аффинно, то пучок \mathcal{L} ассоциирован с R -алгеброй Ли проективного ранга N как R -модуль. Мы интересуемся поведением непрерывного семейства алгебр Ли около некоторой точки параметрического пространства. Поэтому мы в основном будем считать, что X аффинно и \mathcal{L} --- свободный \mathcal{O}_X-модуль. Однако, геометрический язык все еще более удобен.
Для данного \mathcal{L}, описанного выше, и морфизма f:Y\rightarrow X мы можем изменить базу, чтобы получить непрерывное семейство N -мерных алгебр Ли f^*\mathcal{L}, параметризованных Y . Если L --- k -алгебра Ли и \pi:X\rightarrow\textrm{Spec}~k --- морфизм структур, обозначим \pi^*L через \mathcal{O}_X\otimes L. Мы используем французскую аббревиатуру ''fppf'' для обозначения термина //"точный, плоский, конечно представимый"//. Мы называем \mathcal{L} X -формой L , если существует ''fppf''-морфизм f:Y\rightarrow X такой, что f^*\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_Y\otimes L как \mathcal{O}_Y-алгебры Ли. В частности, \mathcal{O}_X\otimes L является тривиальной X -формой L .
Напомним, что точка x\in X рациональна, если ее поле вычетов совпадает с k . Рациональные точки находятся во взаимно однозначном соответствии с k -точками. Пусть i_x:\textrm{Spec}~k\rightarrow X обозначает соответствующий морфизм. Предположим, что L является k -алгеброй Ли размерности N . Под X -//деформацией// L //в рациональной точке// x мы будем понимать пару (\mathcal{L},\alpha), состоящую из непрерывного семейства N -мерных алгебр Ли, параметризованных X и изоморфизма k -алгебр \alpha:L\rightarrow i^*_x\mathcal{L}. В частности, пара (\mathcal{O}_X\otimes L,\alpha), где \alpha является каноническим изоморфизмом L\cong(\pi i_x)^*\cong\i_x^*\pi^*L, доставляемого посредством \pi i_x=\textrm{id}, называется тривиальной деформацией L . Две X -деформации \mathcal{L},\alpha и \mathcal{L}',\alpha' назваются эквивалентными, если существует изоморфизм \mathcal{O}_X-алгебр Ли \theta:\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}' такой, что следующая диаграмма коммутативна\\
\begin{diagram}
\node[2]{L}\arrow{se}\arrow{sw,l}{\alpha}\\
\node{i^*_x\mathcal{L}}\arrow[2]{e,r}{i^*_x\theta}\node[2]{i^*_x\mathcal{L}}
\end{diagram}
\\
Пусть X=\textrm{Spec}~R. Если R=k[[t]] --- алгебра формальных степенных рядов, то X -деформация называется //формальной аналитической//. Обозначим через \Lambda алгебру двойных чисел k[\tau],\tau^2=0. Если R=\Lambda, то X -деформация называется //инфинитезимальной//. Хорошо известно, что классы эквивалентности инфинитезимальных деформаций взаимно-однозначно соответствуют элементам второй группы когомологий H^2(L,L). Процесс интегрирования данной инфинитезимальной деформации до формальной аналитической приводит к деформациям над алгебрами срезанных многочленов \Lambda_n=k[[t]]/(t^n). Если для некоторого n задана такая деформация, то возможность ее поднятия до деформации над \Lambda_{n+1} зависит от обращения в нуль некоторого препятствия, которое является элементом третьей группы когомологий H^3(L,L) [[articles:skryabin:gsaroaipc:chapter3|[6]]],[[articles:skryabin:gsaroaipc:chapter3|[9]]]. Пусть \textrm{Sq}\zeta\in H^3(L,L) обозначает первое препятствие (возникающее при n=2) к интегрированию инфинитезимальной деформации, классом эквивалентности которой является \zeta\in H^2(L,L). Если \zeta представлен 2-коциклом \varphi:L\times L\rightarrow L, то \textrm{Sq}\zeta представлен 3-коциклом (\varphi\overline{\wedge}\varphi)(a,b,c)=\varphi(\varphi(a,b),c)+\varphi(\varphi(b,c),a) +\varphi(\varphi(c,a),b), где a,b,c\in L. Рассматривая деформации, мы не ограничиваемся случаем полного локального кольца R (как это делается в [[articles:skryabin:gsaroaipc:chapter3|[5]]]).
Пусть \overline{k} --- алгебраическое замыкание k . Алгебра Ли L называется //аналитически жесткой над// k , если любая ее формальная аналитическая деформация тривиальна, и аналитически жесткой, если L_{\overline{k}} аналитически жесткая над \overline{k}. Мы называем L //геометрически жесткой//, если для любой схемы X , рациональной точки x\in X и X -деформации \mathcal{L} алгебры L в точке x существует открытая окрестность U точки x из X такая, что для любой \overline{k}-точки i:\textrm{Spec}~\overline{k}\rightarrow U \overline{k}-алгебра Ли i^*\mathcal{L} изоморфна L_{\overline{k}} (когда \overline{k}=k, все алгебры Ли непрерывного семейства вблизи L изоморфны друг другу).
**1.2.** Теперь введем схему структур алгебры Ли. Пусть V --- фиксированное векторное пространство над полем k размерности N . Для k -алгебры K обозначим через \textrm{Alg}(V)(K) множество всех K -алгебр Ли, основнй K -модуль которых совпадает с V_K. Если K\rightarrow K' --- гомоморфизм алгебр, то операция расширения скаляров доставляет отображение \textrm{Alg}(V)(K)\rightarrow\textrm{Alg}(V)(K'). Поэтому \textrm{Alg}(V) является k -функтором. В действительности он представим конечнопорожденной k -алгеброй. Если мы выбрали базис на V , то структура K -алгебры Ли на V_K определяется множеством структурных констант. Рассматривая эти константы как неопределенные переменные, мы можем построить идеал в полиномиальной алгебре, порожденный многочленами, удовлетворяющими свойству кососимметричности и тождеству Якоби. Фактор-алгебра по этому является искомой. Поэтому \textrm{Alg}(V) является аффинной алгебраической схемой, которая изоморфна схеме структурных констант алгебры Ли [[:articles:skryabin:gsaroaipc:chapter3|[9]]], [[:articles:skryabin:gsaroaipc:chapter3|[15]]]. Если S --- произвольная схема, то S -точки \textrm{Alg}(V) можно отождествить со структурами \mathcal{O}_S-алгебр Ли на \mathcal{O}_S-модуле \textrm{O}_S\otimes V. Для каждой алгебры K группа \textrm{GL}(V)(K)=\textrm{GL}_K(V_K) естественно действует на \textrm{Alg}(V)(K) так, что если g\in\textrm{GL}(V)(K) и \mu умножение на \mathcal{L}\in\textrm{Alg}(V)(K), то g\mathcal{L} --- алгебра Ли, умножение g\mu которой задается правилом g\mu(u,v)=g(\mu(g^{-1}u,g^{-1}v)) для u,v\in V_K. Это задает действие полной линейной групповой схемы \textrm{GL}(V) на схеме \textrm{Alg}(V). Две K -точки \textrm{Alg}(V) представляют изоморфные алгебры Ли тогда и только тогда, когда они сопряжены над \textrm{GL}(V)(K).
Далее предположим, что L\in\textrm{Alg}(V)(k) --- фиксированная k -алгебра Ли с основным векторным пространством V . Рассмотрим орбитный морфизм \rho_L:\textrm{GL}(V)\rightarrow\textrm{Alg}(V), определяемый L . Стабилизатор L в \textrm{GL}(V) совпадает с групповой схемой автоморфизмов \textrm{Aut}(L), K -точки которой являются автоморфизмами K -алгебры Ли L_K. Образ O при отображении \rho_L --- локально замкнутое подмножество \textrm{Alg}(V). Наделенный структурой редуцированной подсхемы, он называется орбитой L [[:articles:skryabin:gsaroaipc:chapter3|[2, II, §5, 3.1, 3.3]]]. Так как схема \textrm{GL}(V) редуцирована, то \rho_L раскладывается, согласно [[:articles:skryabin:gsaroaipc:chapter3|[2, III, §3, 5.2]]]:\\ \textrm{GL}(V)\rightarrow\textrm{GL}(V)/\textrm{Aut}(L)\cong O\rightarrow\textrm{Alg}(V).
Пусть
{{tag>"алгебра" "пучок" "схема" "текст"}}